C++算法题 # 51 筛质数（三种方法）

题目描述
给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围
$1\le n\le 10^6$
输入样例：

8

输出样例：

4

思路
本题如果使用前面的判断每一位数字是否是质数，然后统计总共的计数，我们会发现这样会超时，因为这里包含着大量重复的遍历，这样的时间复杂度为 $O(n^{3/2})$。因此我们需要找到一些性质来优化这个算法：

代码示例

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
bool st[N];
int cnt = 0;
// 朴素筛法
void get_primes(int n)
{
	for(int i = 2; i <= n; i ++)
	{
		if(!st[i])
		{
			primes[cnt ++] = i;//把素数存在primes
		}
		for(int j = i;j <= n;j += i)//不管是合数还是质数，都用来筛掉后面它的倍数
		{
            st[j]=true;
		}
	}	
}
// 埃氏筛法
void get_primes2(int n)
{
	for(int i = 2; i <= n; i ++)
	{
		if(!st[i])
		{
			primes[cnt ++] = i;//把素数存在primes
			for(int j = i + i; j <= n; j += i)// 当i为质数时筛除他的所有倍数
			{
				st[j]=true;
			}
		}

	}	
}
// 线性筛法
void get_primes3(int n)
{
	for(int i = 2; i <= n; i ++)
	{
		if(!st[i])
		{
			primes[cnt ++] = i;//把素数存在primes
		}
		for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++) // 筛除合数时用它的质因子进行筛除
		{
			st[i * primes[j]] = true;
			if(i % primes[j] == 0) break; // 退出循环避免重复筛除
		}

	}	
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	
	get_primes3(n);
	
	cout << cnt << endl;
	
	return 0;
}