带你学【自动控制原理】（三）--＞第二章：控制系统的时域数学模型、复域数学模型

   声明：本人大学《自动控制原理》课程为全专业唯一一个满分！！！考研专业课分数145分(某985专业课)，对于自控方面的知识掌握较为全面。
  当然，本人水平毕竟有限，博客可能存在部分错误的地方，请广大读者谅解并向本人反馈错误。
  本专栏博客参考书籍为卢京潮老师的《自动控制原理》

一、 控制系统的时域数学模型

1.1 线性元部件、线性系统微分方程的建立

  用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤:

   (1)根据系统的具体工作情况,确定系统或元部件的输入、输出变量;
  (2)从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律,列写 出各元部件的动态方程,通常是一组微分方程;
  (3)联立方程消去中间变量,写出关于输入、输出变量的微分方程式,
  (4)将微分方程标准化,即将与输入有关的各项放在等号右侧,与输出有关的各项放在等 号左侧,并按从高阶导数项到低阶导数项顺序排列。

1.2 非线性系统微分方程的线性化

  在自控系统中，讨论的元件和系统,假设都是线性的,因而描述它们的数学模型也都是线性微分方程。事实上,任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如,弹簧的刚度与其形变有关,并不一定是常数;电阻R、电感L、电容C等参数值与周围环境(温度、湿度、压力等)及流经它们的电流有关,也不一定是常数;电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复 杂化而成为非线性方程;等等。所以,严格地说,实际系统的数学模型一般都是非线性的,而非 线性微分方程的求解相当困难,没有通用的求解方法。
  因此,在研究系统时总是力图将非线性问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果通过某些近似化简或适当限制问题的 研究范围,可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替,这就是非线 性特性的线性化,这样就可以用线性理论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的,但在一 定的工作范围内能反映系统的特性且便于分析计算,所以在工程实践中具有实际意义。

1.3 线性定常微分方程的求解

  建立微分方程的目的之一是为了用数学的方法定量地研究系统的运动特性,这需要解微分方程。用拉氏变换的方法可以将微分方程变换成复数域的代数方程,求解代数方程后进行拉氏反变换即可得到微分方程的解析解,既简单又实用。

求解过程：微分方程-(拉普拉斯变换)->复数域的代数方程-(拉普拉斯反变换)->微分方程的解析解

1.4 运动的模态

  线性微分方程的解由齐次方程的通解和给定信号对应的特解组成。通解反映系统自由运动的规律。如果微分方程的特征根是${\lambda }_1,\lambda$