B树的性质以及解决上溢和下溢

一、B树

        B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现。

        

        观察上边的B树结构，B树具有几个明显的特质：

                a：每个结点可以有多个元素，也可以有2个以上的分支；

                b：树比较矮；

                c：每个节点的子树高度一致；

二、B树的性质

        假设有一颗m阶的B树（m>=2）

                假设一个节点的存储元素个数为x：

                1：根节点：1 <=  x <= m-1;

                2:  非根节点： ┌ m/2 ┐ (向上取整)− 1 <=  x <= m − 1

                3：如果有子结点，子结点的个数：y=x+1

                        根结点： 2 <= y <= m;

                        非根节点：┌ m/2 ┐  <=  y <= m 

      比如 m = 3，2 ≤ y ≤ 3，因此可以称为（2, 3）树、2-3树
      比如 m = 4，2 ≤ y ≤ 4，因此可以称为（2, 4）树、2-3-4树
      比如 m = 5，3 ≤ y ≤ 5，因此可以称为（3, 5）树

三、B树的搜索

        1、先在根节点内部从小到大搜索元素；

        2、 如果命中，搜索结束；

        3、 如果未命中，再去对应的子结点搜索，重复步骤1

四、 元素添加

        新添加的元素必定是会添加到叶子结点

4.1、普通添加

        给定一颗4阶B树：

添加两个元素55,95

如果这个时候在往里添加一个元素97，这个时候右下角结点的元素个数将超过上限

这种现象称为上溢 overflow

4.2、 解决上溢

        上溢结点的元素个数必然为m，假设上溢结点最中间的元素为k，将[0,k-1] 和 [k+1,m-1] 位置的元素分裂成两个子结点，元素k和父结点结合。

        一次上溢解决后，可能会导致父结点也出现上溢情况，按照上述的方法解决即可。

所以新增元素97后就变成了

继续新增元素52,54后，继续处理上溢

五、删除元素

5.1、元素在叶子结点

        直接删除即可

删除元素30

5.2、元素在非叶子结点

        先找到前驱或者后驱元素，覆盖所需删除元素。再将原先的前驱或者后驱元素从叶子结点中删除。

        比如删除元素60

5.3、删除下溢

删除元素22，结点元素就只剩一个了。元素个数低于最低限制，这种现象称为下溢。underflow

解决下溢的方法有两种：

5.3.1 方法1

        我们知道，下溢元素节点的个数必然为 ┌ m/2 ┐-2。

        如果下溢结点的附近的兄弟结点的元素个数有至少┌ m/2 ┐个元素，那么就向兄弟结点借一个元素。

        

        a： 将父结点的元素b插入到下溢结点的起始位置；

        b： 用兄弟结点中的最大元素a代替父结点中的元素。

        

这种操作就是旋转。

5.3.2 方法2

        如果兄弟结点的元素个数只有┌ m/2 ┐-1个元素

        a：将父结点的元素b挪下来跟左右结点进行合并。

        b：合并后元素结点个数为 ┌ m/2 ┐-1 + ┌ m/2 ┐-2 + 1= ┌ m/2 ┐+┌ m/2 ┐-2  不超过m-1

        c：这个操作可能会导致父结点下溢。

所以下边这个b树

删除元素22后:

六、其他

B树的在线生成模型