欧拉角与固定角的区别

欧拉角与固定角的区别

在三维空间中，旋转的表示方式有很多，其中 欧拉角（Euler Angles） 和 固定角（Fixed Angles） 是两种常见的方法。虽然它们都使用三个角度来描述旋转，但在定义和应用上存在显著区别。本文将详细探讨欧拉角与固定角的概念、区别以及使用场景。

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1. 欧拉角（Euler Angles）

欧拉角由 瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler） 提出，是一种通过三个旋转角度描述刚体方向的方法。它的特点是 旋转轴是相对自身变换的，即 旋转是关于“移动的坐标轴”进行的。

1.1 欧拉角的定义

欧拉角的旋转顺序通常为 ZYX、ZYZ 或其他组合，具体定义如下：

1. 绕固定的 Z 轴旋转，角度为 ψ（偏航 Yaw）。
2. 绕新（旋转后）的 Y 轴旋转，角度为 θ（俯仰 Pitch）。
3. 绕新（旋转后）的 X 轴旋转，角度为 ϕ（翻滚 Roll）。

这个顺序称为 ZYX 欧拉角，不同领域可能使用不同的顺序。

1.2 欧拉角的特点

• 旋转轴随变换而变化（非固定）。
• 容易出现万向锁（Gimbal Lock）问题：当俯仰角 θ 变为 ±90度时，系统会失去一个自由度，使得两个旋转轴重合，导致某些旋转无法表示。
• 适用于航空航天和机器人学，但在某些情况下不够稳定。

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2. 固定角（Fixed Angles）

固定角与欧拉角的核心区别在于：固定角是绕“固定坐标系”的轴进行旋转，即 旋转轴在整个变换过程中保持不变。

2.1 固定角的定义

假设采用 XYZ 固定角旋转顺序，则旋转如下：

1. 绕固定的 X 轴旋转，角度为 γ。
2. 绕固定的 Y 轴旋转，角度为 β。
3. 绕固定的 Z 轴旋转，角度为 α。

与欧拉角的区别 在于，这些旋转始终是相对于最初的固定坐标轴进行的，而不是相对于旋转后的新坐标轴。

2.2 固定角的特点

• 旋转轴不变（始终是固定坐标系的轴）。
• 相对于世界坐标系进行变换，而非局部坐标系。
• 适用于某些机械控制和数学分析，但在动态系统中应用较少。

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3. 欧拉角 vs. 固定角的核心区别

特性	欧拉角（Euler Angles）	固定角（Fixed Angles）
旋转轴	旋转后改变	旋转后不变
旋转参考系	相对于局部坐标系	相对于固定坐标系
常见顺序	ZYX、XYZ 等	XYZ、ZYX 等
万向锁问题	可能出现	可能出现
应用领域	计算机图形学、机器人学、飞行器姿态	机械系统、数学分析

4. 结论

欧拉角和固定角都用于表示三维旋转，核心区别在于旋转轴是否随变换改变。欧拉角适用于动态系统，如飞机和机器人，而固定角更适用于机械控制和静态数学计算。在实际应用中，若要避免万向锁问题，常常使用 四元数（Quaternion） 作为替代方案。