【2019牛客暑期多校训练营 第十场 J题】【Wood Processing】【DP+斜率优化】

题目链接：
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/890/J
题意：
给你$n$个宽度$w$高度$h$不同的木块，问你合成$k$块高度相同的木块的最少浪费。
这里木块不能翻转，只能将切割高使得木块高度相同。
题解：
首先我们肯定会想到按高度从低到高排序
之后很容易想到这里可以DP
考虑$f[i][j]$为切到第$i$块木块，前面的木块已经合成$j$块高度相同的木块的最少花费
容易写出状态转移方程：
$f[i][j]=\underset{x=1}{\overset{i-1}{\max }}(f[i][j],f[x][j-1]+\sum _{j=x+1}^i(h_j-h_{x+1})\ast w_j)$
时间复杂度为$O(k{n}^2)$，对于题目数据$n\le 5000,k\le 2000$，显然是会超时的，考虑斜率优化
如果还没学过斜率优化，可以去洛谷上做几道斜率优化的题，如P2365 任务安排和P3648 [APIO2014]序列分割等等，你就会发现这东西只要知道能够用斜率优化，并且推出式子就是完全套板子一样的题，下面是推导式子过程
这里$f[i][j-1]$简记为$g_i$，$S_i=\sum _{j=1}^i{h}_j\ast w_j$，$s_i=\sum _{j=1}^i{w}_j$
记$x<y$，并且在$x$处切割比$y$处切割更优，则有：

$g_x+\sum _{j=x+1}^i(h_j-h_{x+1})\ast w_j<g_y+\sum _{j=y+1}^i(h_j-h_{y+1})\ast w_j$

即$g_x+S_i-S_{x+1}-h_{x+1}\ast (s_i-s_{x+1})<g_y+S_i-S_{y+1}-h_{y+1}\ast (s_i-s_{y+1})$

即$g_x-g_y+S_y-S_x+h_{x+1}\ast s_{x+1}-h_{y+1}\ast s_{y+1}<s_i\ast (h_{x+1}-h_{y+1})$

即$\frac{g_x-g_y+S_y-S_x+h_{x+1}\ast s_{x+1}-h_{y+1}\ast s_{y+1}}{h_{x+1}-h_{y+1}}>s_i$

最后我们维护一个斜率递减的单调队列即可
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define sz sizeof
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> Pair;
const int MAX = 5e3 + 10;
 
struct node {
    ll w, h;
    bool operator < (const node& a) const {
        if (h == a.h)return w < a.w;
        return h < a.h;
    }
}a[MAX];
 
int n, K;
int q[MAX];
ll S[MAX], s[MAX], f[MAX], g[MAX];
 
double slope(int x, int y) {
    if (a[x + 1].h == a[y + 1].h)return 1e18;
    return 1.0 * (g[x] - g[y] + S[y + 1] - S[x + 1] + a[x + 1].h * s[x + 1] - a[y + 1].h * s[y + 1]) / (a[x + 1].h - a[y + 1].h);
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin >> n >> K;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i].w >> a[i].h;
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        S[i] = S[i - 1] + a[i].h * a[i].w, s[i] = s[i - 1] + a[i].w;
    memset(g, 0x3f, sz(g));
    g[0] = 0;
    for (int k = 1; k <= K; k++) {//已分成k份
        int head = 1, tail = 0;
        q[++tail] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {//当前到第i个
            while (head < tail && slope(q[head], q[head + 1]) <= s[i])head++;
            f[i] = g[q[head]] + S[i] - S[q[head] + 1] - a[q[head] + 1].h * (s[i] - s[q[head] + 1]);
            while (head < tail && slope(q[tail], i) <= slope(q[tail - 1], q[tail]))tail--;
            q[++tail] = i;
        }
        memcpy(g, f, sz(f));//g[i]即下一轮的f[i][j-1]
    }
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}