003:月度开销(二分搜索)

本文介绍了一个预算划分问题,农夫约翰需要将连续的财政周期划分为若干个fajo月,目标是最小化开销最大的fajo月的开销。通过二分查找的方法找到了最优解。

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描述
农夫约翰是一个精明的会计师。他意识到自己可能没有足够的钱来维持农场的运转了。他计算出并记录下了接下来 N (1 ≤ N ≤ 100,000) 天里每天需要的开销。

约翰打算为连续的M (1 ≤ M ≤ N) 个财政周期创建预算案,他把一个财政周期命名为fajo月。每个fajo月包含一天或连续的多天,每天被恰好包含在一个fajo月里。

约翰的目标是合理安排每个fajo月包含的天数,使得开销最多的fajo月的开销尽可能少。

输入
第一行包含两个整数N,M,用单个空格隔开。
接下来N行,每行包含一个1到10000之间的整数,按顺序给出接下来N天里每天的开销。
输出
一个整数,即最大月度开销的最小值。
样例输入
7 5
100
400
300
100
500
101
400
样例输出
500
提示
若约翰将前两天作为一个月,第三、四两天作为一个月,最后三天每天作为一个月,则最大月度开销为500。其他任何分配方案都会比这个值更大。

每个月最小的月度开销是arr数组内的最大值,最大的月度开销是数组所有值的和,在这个区间内二分查找可以完成的数字。
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#define dd double
#define ll long long
dd PI = acos(-1);
using namespace std;
const ll MAXN = 100005;
const ll INF = 1e9 + 5;
ll n, m;
ll arr[MAXN];
ll total = 0;
ll maxn = -1;
ll l, r, mid;
ll fin_mid = 100000000;

bool binary(ll pay) {
	ll t = 1;
	ll sum = 0;
	for (ll i = 0; i < n; i++) {
		if (sum + arr[i] > pay) {
			t++;
			sum = arr[i];
		}
		else {
			sum += arr[i];
		}
	}
	if (t <= m) {
		return true;
	}
	else {
		return false;
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	for (ll i = 0; i < n; i++) {
		cin >> arr[i];
		maxn = max(maxn, arr[i]);
		total += arr[i];
	}
	l = maxn;
	r = total;
	while (l <= r) {
		mid = l + (r - l) / 2;
		if (binary(mid)) {
			fin_mid = min(mid, fin_mid);
			r = mid - 1;
		}
		else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	cout << fin_mid << endl;
}
### 使用Python实现月度开销统计 为了有效地管理和优化约翰的月度开销,可以采用二分查找算法来解决这个问题。通过设定合理的上下限并逐步缩小范围,最终找到满足条件的最大月度开销。 #### 定义问题边界 对于给定的日支出列表`days_expenses`以及要划分成的fajo月数量`M`: - **最大值(max)**:如果所有的日子都放在同一个fajo月中,则此fajo月的总费用即为所有日子里最高可能的单个月份开支。 - **最小值(min)**:假设每个月都是独立的一个fajo月,那么最高的那个单独月份的成本将是最低界限。 ```python def find_max_daily_spend(days_expenses): """找出每日花销中的最大值""" return max(days_expenses) def sum_all_days_spends(days_expenses): """计算所有天数内的总花费""" return sum(days_expenses) ``` #### 实现二分法寻找最优解 基于上述定义,在已知最坏情况下的最大月度开销(即全部加起来)和最好情况下最大月度开销的基础上应用二分搜索技术。 ```python from typing import List def can_partition_with_limit(limit, days_expenses:List[int], m:int)->bool: count = 1 current_sum = 0 for expense in days_expenses: if current_sum + expense > limit: count += 1 current_sum = expense if count > m: return False else: current_sum += expense return True def min_max_monthly_cost(days_expenses:List[int], m:int)->int: low = find_max_daily_spend(days_expenses)[^3] high = sum_all_days_spends(days_expenses)[^2] while low < high: mid = (low + high) // 2 if not can_partition_with_limit(mid, days_expenses, m): low = mid + 1 else: high = mid return low ``` 这段代码实现了对输入参数`days_expenses`(表示每一天的具体消费数额)`m`(代表希望分成多少个fajo月),并通过调用辅助函数`can_partition_with_limit()`判断当前尝试设置的最大允许月度成本能否让这些天被成功划分为不超过指定数目(`m`)个fajo月。最后返回的结果就是能够使任意一个fajo月内发生的最大开销达到最小化的数值[^2]。
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