Week 14 C - Q老师的考验

Q老师的考验

Q老师 对数列有一种非同一般的热爱，尤其是优美的斐波那契数列。

这一天，Q老师 为了增强大家对于斐波那契数列的理解，决定在斐波那契的基础上创建一个新的数列 f(x) 来考一考大家。数列 f(x) 定义如下：

当 x < 10 时，f(x) = x；
当 x ≥ 10 时，f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)，ai 只能为 0 或 1。

Q老师 将给定 a0～a9，以及两个正整数 k m，询问 f(k) % m 的数值大小。

聪明的你能通过 Q老师 的考验吗？

Input

输出文件包含多组测试用例，每组测试用例格式如下：

第一行给定两个正整数 k m。（k < 2e9, m < 1e5）

第二行给定十个整数，分别表示 a0～a9。

Output

对于每一组测试用例输出一行，表示 f(k) % m 的数值大小。

Sample Input

10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Sample Output

45
104

问题分析

矩阵快速幂求解线性递推
构造转移矩阵：

利用快速幂，可以很快计算出上式中矩阵的(n-9)次方(注意矩阵乘法取模)，最终答案就是结果矩阵各项分别乘0-9再求和。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 10;
 
int n, m;

struct Matrix {
	int v[10][10];
	Matrix() {memset(v, 0, sizeof(v));}
	
	Matrix operator *(Matrix const &b) const 
	{
		Matrix ret;
		for (int i = 0; i < maxn; i++)
		{
			for (int j = 0; j < maxn; j++)
			{
				ret.v[i][j] = 0;
				for (int k = 0; k < maxn; k++)
				{
					ret.v[i][j] += (v[i][k]*b.v[k][j])%m;
					ret.v[i][j] %= m;
				}
			}
				
		}			
		return ret;
	}
	
};

Matrix quick_pow(Matrix a, int x) 
{
	Matrix ret ;
	ret.v[0][1] = ret.v[1][0] = 0;
	ret.v[0][0] = ret.v[1][1] = 1;
	while (x) {
		if (x & 1)
			ret = ret * a;
		a = a * a;
		x >>= 1;
	}
	return ret;
} 

int main() 
{
	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) 
	{
		Matrix a,b,tmp;
		for (int i = 1; i < 10; i++)
			a.v[i][i-1] = 1;
		for (int i = 0; i < 10; i++)
			scanf("%d", &a.v[0][i]);
		if (n < 10) 
		{
			printf("%d\n", n%m);
			continue;
		}
		tmp = quick_pow(a, n-9);
		int ans = 0;
		for (int i = 0; i < 10; i++)
			ans = (ans + tmp.v[0][i]*(9-i)) % m;
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}