Week 12 C——东东扫楼（dp）

必做题 - 3

东东每个学期都会去寝室接受扫楼的任务，并清点每个寝室的人数。
每个寝室里面有ai个人(1<=i<=n)。从第i到第j个宿舍一共有sum(i,j)=a[i]+…+a[j]个人
这让宿管阿姨非常开心，并且让东东扫楼m次，每一次数第i到第j个宿舍sum(i,j)
问题是要找到sum(i1, j1) + … + sum(im,jm)的最大值。且ix <= iy <=jx和ix <= jy <=jx的情况是不被允许的。也就是说m段都不能相交。
注：1 ≤ i ≤ n ≤ 1e6 , -32768 ≤ ai ≤ 32767 人数可以为负数。。。。(1<=n<=1000000)
Input

输入m，输入n。后面跟着输入n个ai

Output

输出最大和

Sample Input

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

6
8 

Hint

数据量很大，需要scanf读入和dp处理。

问题分析

本题的大致意思为给定一个数组，求其分成m个不相交子段和最大值的问题。
数据量很大，因此不能暴力。考虑动态规划。
dp[i][j]表示把前j个数组分成i组的区间和。转移方程：dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1 ][ j - 1]) + a[j]; 其中： i - 1 <= k <= j - 1。
第一个状态表示前j - 1个数分成 i 组后将第 j 个数并入最后一个组，第二个状态表示前j - 1个数分成 i - 1 组之后第 j 个数单独成一组。
因为数据量大，需要优化到一维数组：dp[i - 1][j - 1]可以用一个pre数组记录，pre [j-1] 代表的是前j-1个不包括j-1这个数的最大和,，则转移方程可以写成： dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], pre[j - 1]) + a[j]；
显然dp数组的第一维是对结果没有影响的，转移方程为：dp[j] = max(dp[[j - 1], pre[j - 1] + a[j]。
pre数组的更新：pre[j - 1] = max(pre[j - 2], dp[j]).

代码实现

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;

int n,m;
int a[maxn], pre[maxn], dp[maxn];

int main()
{
	while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
	{
		for(int i=0; i<n; i++)
		    scanf("%d",&a[i]);
		
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		memset(pre, 0, sizeof(pre));
		
		int mx=-0x3f3f3f3f;
		
		for(int i=0; i<m; i++)
		{
			mx = -0x3f3f3f3f;
			for(int j=i; j<n; j++)
			{
				dp[j] = max(dp[j-1], pre[j-1]) + a[j];
				pre[j-1] = mx;
				if(dp[j] > mx)
				    mx = dp[j];
			}
		}
		
		printf("%d\n",mx);
	}
	return 0;
}