Week11E——东东与 ATM

东东与 ATM

一家银行计划安装一台用于提取现金的机器。
机器能够按要求的现金量发送适当的账单。
机器使用正好N种不同的面额钞票，例如D_k，k = 1,2,…,N，并且对于每种面额D_k，机器都有n_k张钞票。
例如，
N = 3，
n_1 = 10，D_1 = 100，
n_2 = 4，D_2 = 50，
n_3 = 5，D_3 = 10
表示机器有10张面额为100的钞票、4张面额为50的钞票、5张面额为10的钞票。
东东在写一个 ATM 的程序，可根据具体金额请求机器交付现金。
注意，这个程序计算程序得出的最大现金少于或等于可以根据设备的可用票据供应有效交付的现金。

Input

程序输入来自标准输入。 输入中的每个数据集代表特定交易，其格式为：Cash N n1 D1 n2 D2 … nN DN其中0 <=
Cash <= 100000是所请求的现金量，0 <= N <= 10是 纸币面额的数量，0 <= nk <=
1000是Dk面额的可用纸币的数量，1 <= Dk <= 1000，k = 1，N。 输入中的数字之间可以自由出现空格。 输入数据正确。

Output

对于每组数据，程序将在下一行中将结果打印到单独一行上的标准输出中。

Sample Input

735 3  4 125  6 5  3 350
633 4  500 30  6 100  1 5  0 1
735 0
0 3  10 100  10 50  10 10

Sample Output

735
630
0
0

Hint

第一个数据集指定一笔交易，其中请求的现金金额为 735。 机器包含3种面额的纸币：4张钞票 125、6张钞票 5和3张钞票 350。
机器可以交付所需现金的确切金额。 在第二种情况下，机器的票据供应不能满足所要求的确切现金数量。 可以交付的最大现金为 630。
请注意，在机器中组合钞票以匹配交付的现金有多种可能性。

在第三种情况下，机器是空的，没有现金交付。 在第四种情况下，请求的现金金额为 0，因此机器不交付现金。

问题分析

0-1背包滚动数组

如果只用一个数组 f[V]，能不能保证第 i 次循环结束后 f[j] 中表示的就是
我们定义的状态 f[i][j]？
f[i][j] 是由 f[i-1][j] 和 f[i-1][j-w[i]] 两个子问题递推过来
只需要保证枚举顺序从 j = V → 0 即可
状态转移方程：f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i])
滚动数组的关键点是：逆序！
如果是顺序的话则会出现同一件物品选多次的情况

多重背包

设计状态：f[i][j] 表示前 i 种物品恰放入一个容量为 V 的背包的最大权值
方程几乎完全相同：

复杂度：

优化——二进制拆分
二进制拆分 13=(1101)2  我们首先拆出 7=(111)2 → 1=(001)2, 2=(010)2, 4=(100)2
 这样已经可以表示 0~7 范围内的所有数
 剩下的不能表示的数共有 13–7=6 个，所以我们再将 13 拆出一个 6 来
 类似于偏移量的思路，通过控制 6 的选、不选，就能够表示所有的决策
 也就是（0~ 7）+ 0×6 或（0~7）+ 1×6
 因此 13=(1101) → 1=(001), 2=(010), 4=(100), 6=(110)

解题思路

不难发现这是一个多重背包问题。
首先进行二进制拆分，得到w数组代表物体的体积。这样问题就转化为了一个0-1背包问题，可以用滚动数组来求解.

二进制拆分：
遍历n个物体，对物体i，让t等于它的数量，定义k从1取到t，每次右移一位，存储k物体i的价值为新的物体的体积，同时每次都更新t=t-k。如果结束循环后t>0，就存储t物体i的价值为新的物体的体积。

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;

int m,n;
int cash[11];
int num[11];
int w[10005];
int f[100005];

int main()
{
	while(cin>>m>>n)
	{
		for(int i=1; i<=n; i++)
		{
		    cin>>num[i];
			cin>>cash[i];
		}
		
		int cnt = 0;
		for(int i=1; i<=n; i++)
		{
			int t = num[i];
			int k = 1;
			for(; k<=t; k<<=1)
			{
				cnt++;
				w[cnt] = k*cash[i];
				t -= k;
			}
			
			if(t > 0)
			{
				cnt++;
				w[cnt] = t*cash[i];
			}
		}
		
		for(int i=1; i<=m; i++)
		    f[i]  = 0;
		    
		for(int i=1; i<=cnt; i++)
		{
			for(int j=m; j>=w[i]; j--)
			{
				f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+w[i]);
			}
		}
		
		cout<<f[m]<<endl;
	}
 }