矩阵元素相加之和的数学表示

在科研过程中，会遇到对矩阵全部元素求和的运算，但该运算如何能用更简洁的方式来表示呢？

最简单直接的方式莫过于使用二级$\sum \sum$嵌套来表示,但这种方式的缺点是显得很臃肿，因此，我们来考虑更加简洁的表示方法。

考虑任意维矩阵$\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{\mathbf{m}\times \mathbf{n}}$,其所有元素的和表示为
$$s=\sum _{i=0}^{m-1}\sum _{j=0}^{n-1}{a}_{ij}$$
然后我们在每个元素左右位置各乘1，则可重新表示为
$$s=\sum _{i=0}^{m-1}\sum _{j=0}^{n-1}1\cdot a_{ij}\cdot 1$$
很显然，上式是一个二次型的表示形式，即
$$s=1^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{A}\cdot 1$$
其中，左侧的$1$维度为 1 ∈ { 1 } m × 1 {\bm{1}} \in \left\{ 1 \right\}^{m \times 1} 1∈{1}m×1的全1列向量，右侧的$1$维度为 1 ∈ { 1 } n × 1 {\bm{1}} \in \left\{ 1 \right\}^{n \times 1} 1∈{1}n×1的全1列向量。综上即是矩阵元素求和的简洁表示。

特别的，当矩阵退化为向量时，其中一个维度退化到1，此时全1列向量退化到标量常数1。此时向量元素的和的表示为向量$\mathbf{a}$ 与全1列向量的内积，即可表示为
$$s=\sum _{i=0}^{m-1}{a}_i=1^{\mathbf{T}}\cdot \mathbf{a}$$

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