李萨如图（Lissajous figure）详解与 MATLAB 可视化

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#matlab #算法 #李萨如图

于 2025-08-09 10:29:19 首次发布

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李萨如图（Lissajous figure）详解与 MATLAB 可视化示例

摘要：李萨如图是由两个互相垂直方向上的简谐运动合成而成的平面轨迹，既有优美的几何形状，又能直接反映两个正弦信号的频率比与相位差。因此它在物理（示波器相位/频率测量）、信号处理与数学视觉化中都很常用。下面先从数学定义、几何性质与仪器学意义讲起，再给出若干 MATLAB 可视化与相位估计的实用代码示例，便于实验与教学使用。

1. 什么是李萨如图（定义）

给定两个互相垂直的简单正弦振动

$\begin{cases} x(t)=A\sin(a t+\delta),\\[4pt] y(t)=B\sin(b t), \end{cases}$

其中 $A, B$ 为振幅， $a, b$ 为角频率（或简记为频率比）， $δ\delta$ 为相位差。随着参数 $t$ 变化， $(x (t), y (t))$ 在平面上描出的轨迹即为李萨如图。

李萨如图是指两个沿着垂直方向的正弦信号合成的轨迹，由于其能同时反映两垂直信号的幅值和相位差，常用于信号处理领域。

2. 几何与代数性质（重要结论）

相等频率（ $a = b$ ）：轨迹为椭圆（包括退化为直线或圆的特例）。特别地，当 $A = B$ 且 $δ=π2\delta=\tfrac{\pi}{2}$ 时为圆；当 $δ=0\delta=0$ 时为通过原点的直线 $y = (B / A) x$ 。

可以从三角恒等式消去 $t$ 得到常见的椭圆方程（设 $s=sin⁡(at)s=\sin(at)$ ）：

$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy\cos\delta}{AB}=\sin^2\delta,$

它是一般的二次曲线， $δ\delta$ 控制椭圆的倾角与长短轴比。
频率比为有理数（闭合性）：若 $ab\frac{a}{b}$ 为有理数，设在最简形式为 $m : n$ （互素整数），则轨迹是闭合曲线，会重复。
若 $a$ 和 $b$ 都是整数，记 $g=gcd⁡(a,b)g=\gcd(a,b)$ ，则函数对 $t$ 的最小重复周期为

$T=\frac{2\pi}{g},$

曲线在一个周期内完成闭合。
频率比为无理数（致密）：若 $ab\frac{a}{b}$ 为无理数，则轨迹不会闭合，而是在某区域内稠密填充（随采样时间越长越像填满区域）。

3. 仪器学意义（示波器上的应用）

在示波器的 X-Y 模式下，将一通道接 $x (t)$ 、另一通道接 $y (t)$ ，李萨如图直接给出两信号间的频率比与相位差信息：
- 若频率相同 ( $a = b$ )，用 $x$ -轴过零点时 $y$ 的截距可估相位：当 $x = 0$ （即 $sin⁡(at)=0\sin(at)=0$ ）时 $y=Bsin⁡δy=B\sin\delta$ ，因此
  
  $\delta=\arcsin\!\Big(\frac{y_{\text{at }x=0}}{B}\Big),$
  
  这是示波器上常见的相位测量法（注意有符号与 $π\pi$ 的模糊，需要结合方向或多次测量判定象限）。
- 若频率比为简单整数比 $m : n$ ，图形的“瓣数/形状”可直接读出比例，从而判定频率比。

4. MATLAB 可视化代码（完整示例脚本）

下面给出一个自包含的 MATLAB 脚本 Lissajous_demo.m，它演示若干典型参数、整数比闭合与无理比稠密两类情形，并给出一个用于 等频情况估算相位差 的简单方法。

把下面代码复制到一个文件 Lissajous_demo.m，在 MATLAB 中运行即可。

% Lissajous_demo.m
% 李萨如图示例脚本：绘制若干典型参数并演示等频相位估计
clear; close all; clc;

% ------- 示例参数（每行：A B a b delta） delta 单位为弧度
examples = [
    1 1 1 1 0;          % 同频，同相 -> 直线
    1 1 1 1 pi/2;       % 同频，90度 -> 圆（若A=B）
    1 1 2 1 0;          % 频率比 2:1
    1 1 3 2 pi/4;       % 频率比 3:2 带相位
    1 1 5 4 pi/3;       % 频率比 5:4
    1 1 1 sqrt(2) 0     % 无理比示例（稠密）
];

figure('Position',[100 100 1200 700]);
rows = 2; cols = 3;
for k = 1:size(examples,1)
    A = examples(k,1); B = examples(k,2);
    a = examples(k,3); b = examples(k,4); delta = examples(k,5);
    
    % 智能选取绘制时间长度 t_end：
    if abs(a-round(a))<1e-10 && abs(b-round(b))<1e-10
        % 若 a,b 为整数，则最小重复周期 T = 2*pi / gcd(a,b)
        g = gcd(round(a), round(b));
        T = 2*pi / max(g,1);
        t_end = T;    % 一个周期即可见闭合图形
        N = 4000;
    else
        % 非整数（可能为无理比），用较长时间观察稠密性
        t_end = 40*pi;
        N = 20000;
    end
    
    % ------- 绘制李萨如图 -------
    t = linspace(0,t_end,N);
    x = A*sin(a*t + delta);
    y = B*sin(b*t);
    subplot(rows,cols,k);
    plot(x,y,'LineWidth',1.2);
    axis equal; grid on;
    xlabel('x = A sin(a t + \delta)');
    ylabel('y = B sin(b t)');
    title(sprintf('A=%.2g B=%.2g, a=%.3g b=%.3g, \\delta=%.3g\\pi', ...
        A,B,a,b,delta/pi));
end
sgtitle('李萨如图示例（不同频率比与相位）','FontSize',14);

% ------- 等频（a==b）时的相位估计演示 -------
figure('Name','等频相位估计示例','NumberTitle','off');
A = 1; B = 1; a = 1; b = 1; delta_true = pi/6; % 30度
t = linspace(0,2*pi,5000);
x = A*sin(a*t + delta_true);
y = B*sin(b*t);

plot(x,y,'k'); axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title(sprintf('等频李萨如：\\delta_{true}=%.1f°', delta_true*180/pi));
hold on;

% 找到 x=0 处的第一个交点并内插算出对应 y 值（线性内插）
zc = find(x(1:end-1).*x(2:end) < 0, 1, 'first');
if ~isempty(zc)
    kidx = zc;
    % 线性内插求零点时刻 t0
    t0 = t(kidx) - x(kidx)*(t(kidx+1)-t(kidx)) / (x(kidx+1)-x(kidx));
    y0 = interp1(t,y,t0);
    plot(0,y0,'ro','MarkerFaceColor','r','MarkerSize',8);
    % 估计相位（取 principal branch）
    delta_est = asin( y0 / B );
    txt = sprintf('\\delta_{est}=%.2f° (由 y_{x=0}/B 估计)', delta_est*180/pi);
    legend('轨迹','x=0 点对应 y','Location','best');
    text(0.05, -0.1, txt, 'Units','normalized','FontSize',11,'Color','r');
    fprintf('真实相位 (rad) = %.6f, 估计相位 (rad) = %.6f\n', delta_true, delta_est);
else
    warning('未找到 x=0 的交点（采样/参数问题）');
end

% 保存示例图
% saveas(gcf, 'Lissajous_phase_estimation.png');

在这里插入图片描述

5. 李萨如图的应用

1. 频率比测量

李萨如图最经典的用途是在示波器上比较两个信号的频率。

原理：当两个互相垂直的输入信号分别驱动 X 轴与 Y 轴时，如果它们是正弦波，屏幕上会显示闭合的李萨如曲线。曲线形状与两个信号的频率比 $a : b$ 有直接关系。
用途：通过观察图形的交点数目，可以快速判断频率比。例如：
- 频率比 1:1 → 圆、椭圆或直线
- 频率比 2:1 → “8” 字形
- 频率比 3:2 → 三叶形等
应用场景：
- 早期电子仪器中，用于校准信号源、音叉或振荡器频率
- 无需复杂数学计算，直接肉眼判断频率比