接雨水问题是什么？怎么解决？接雨水 | 算法

最新推荐文章于 2025-07-13 15:31:26 发布

chjunlinux

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44066506/article/details/148561126

在计算机科学里，有些问题乍一看似乎只是“编程练习”，但深入研究之后，却能触及到核心的算法思想、空间时间优化策略，乃至程序设计中最本质的“建模方法”。“接雨水问题”(Trapping Rain Water)就是这样一个看似简单，实则深刻的问题。

想象一下，一排高低错落的柱子，雨后水会积在哪些地方？这个现实生活中的问题，被抽象成了一个算法挑战。它不仅考察你的代码能力，还要求你理解数据结构、算法效率、甚至空间思维。更有趣的是，这个问题虽然可以暴力解决，但也可以用优雅的算法进行优化，每一种解法都体现了计算思维的不同维度。

接雨水问题是什么？怎么解决？接雨水 | 算法_Python

1. 问题描述

在现代城市中，我们经常看到下雨之后街道两旁的积水。积水的多少不仅取决于地面是否平坦，更取决于地势高低。高楼之间的低洼区域，就像自然形成的水池一样，能够“收集”雨水。

这个现象被极其形象地抽象为一个算法问题：给你一个数组 height，每个元素代表一根柱子的高度，柱子宽度为 1。下雨后，水将积存在柱子之间的低洼区域。你的任务是计算总共能接多少单位的雨水。

例如：

看起来像是一个“图形问题”，但算法的本质不只是图形，而是如何通过结构化的数据建模来实现空间判断与水量计算。

2. 问题建模：从地形到数学模型

我们可以把每个 height[i] 理解为一个柱子的高度，那么水的积累发生在什么地方？某个位置 i 处能积水的前提是：

它左边有比它高的柱子；
它右边也有比它高的柱子；
此位置不是最高点。

公式化描述：

其中：

max_left[i] 是位置 i 左边最高柱子的高度；
max_right[i] 是位置 i 右边最高柱子的高度；
如果 min(max_left[i], max_right[i]) > height[i]，则可以积水。

这就是一个典型的“区间极值分析”问题。接下来我们从不同角度出发，逐一实现各类解法。

3. 解法一：暴力解法(Brute Force)

这种方法直接按照公式定义来实现，对每个柱子左右遍历找最大高度。

def trap(height):
    n = len(height)
    res = 0
    for i in range(1, n - 1):
        max_left = max(height[:i])
        max_right = max(height[i+1:])
        water = min(max_left, max_right) - height[i]
        if water > 0:
            res += water
    return res

分析：

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(1)

虽然思路朴素，但在大规模数据下效率低下，容易超时。

4. 解法二：动态规划优化(Dynamic Programming)

为了避免重复计算左右最大值，我们可以提前预处理两个数组：

def trap(height):
    n = len(height)
    if n == 0:
        return0

    left_max = [0]*n
    right_max = [0]*n
    left_max[0] = height[0]
    for i in range(1, n):
        left_max[i] = max(left_max[i-1], height[i])

    right_max[n-1] = height[n-1]
    for i in range(n-2, -1, -1):
        right_max[i] = max(right_max[i+1], height[i])

    res = 0
    for i in range(1, n-1):
        res += min(left_max[i], right_max[i]) - height[i]
    return res

分析：

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

通过预处理极大减少了不必要的计算，适合中等数据规模。

5. 解法三：双指针(Two Pointers)

极致优化在于空间。我们能不能不使用额外空间？答案是肯定的，核心思想是：从两边向中间移动指针，动态维护左右最大值。

def trap(height):
    ifnot height:
        return0

    left, right = 0, len(height) - 1
    left_max, right_max = height[left], height[right]
    res = 0

    while left < right:
        if height[left] < height[right]:
            left += 1
            left_max = max(left_max, height[left])
            res += max(0, left_max - height[left])
        else:
            right -= 1
            right_max = max(right_max, height[right])
            res += max(0, right_max - height[right])
    return res

分析：

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

这是一种空间效率极高的方法，尤其适用于面试场景与实际部署。

6. 解法四：单调栈(Monotonic Stack)

单调栈是一种极具启发性的解法，尤其适用于“找到左边第一个比当前元素大”的场景。

def trap(height):
    stack = []
    res = 0
    current = 0
    while current < len(height):
        while stack and height[current] > height[stack[-1]]:
            top = stack.pop()
            ifnot stack:
                break
            distance = current - stack[-1] - 1
            bounded_height = min(height[current], height[stack[-1]]) - height[top]
            res += distance * bounded_height
        stack.append(current)
        current += 1
    return res

分析：

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

这种方法的本质是模拟雨水“落入”低谷的过程，是许多高级算法题的基础。

7. 算法对比与选择策略

方法	时间复杂度	空间复杂度	优势	劣势
暴力法	O(n²)	O(1)	简单易懂	效率低，适用范围小
动态规划	O(n)	O(n)	高效，适用广泛	占用额外空间
双指针	O(n)	O(1)	空间最优	思维要求更高
单调栈	O(n)	O(n)	结构清晰，适合扩展	思维复杂，调试较难