【数学建模】（04）拟合算法

概念

与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点在。拟合问题的目标是寻求一个函数(曲线) ,使得该曲线在某种准则下与所有的数现点最为接近,即曲线拟合的最好(最小化损失函数)
拟合的结果是得到一个确定的曲线

clear;clc
load data1
plot(x,y,'o')
%给x和y轴加上标签
xlable('x的值')
ylable('y的值')
n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
hold on %继续在之前的图形上来画图形
grid on %显示网格线
f = @(x)k*x+b;
%fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形
fplot(f,[2.5,7]);%fplot(f,xinterval)将匿名函数f在指定区间xinterval绘图
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')

%计算拟合优度
y_hat = k*x+b;%y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) %回归平方和
SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) %总体平方和
SST = SSE + SSR
R_2 = SSR/SST


%%画出y=kx+b的函数图像plot（x,y）
%% 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% x = 0：0.1：5 %间隔设置的越小画出来的图形越精准
% y = k*x+b % k和b都是已知值
% plot(x,y,'-') 
% 匿名函数的基本用法
% handle = @(arglist)anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔
% anonymous_function为匿名函数的表达式
%eg. z = @(x,y)x^2+y^2
%z(1,2)
%%ans = 5

如何拟合曲线与样本点最接近：最小二乘法
为什么用二次方，而不用绝对值，三次方或者四次方？
用二次方，即最小二乘的思想，得到的结果和MLE极大似然估计一致
用绝对值不方便求导，优化
用三次方，产生正负数，误差发生抵消
用四次方，避免极端数据对拟合曲线的影响

拟合优度：评价拟合的好坏

可决系数：$R{}^2$
$R{}^2$越接近1，说明误差平方和越接近0，误差越小，拟合越好
ps. $R{}^2$智能用于拟合函数是线性函数时，拟合结果的评价

总体平方和SST：$Total$ $sum$ $of$ $squares:SST={\sum }_{i=1}^n(y_i-\overline{y}){}^2$
误差平方和SSE：$The$ $sum$ $of$ $squares$ $due$ $to$ $error:SSE={\sum }_{i=1}^n（y_i-\widehat{y_i}）{}^2$
回归平方和SSR：$Sum$ $of$ $squares$ $of$ $the$ $regression:SSR={\sum }_{i=1}^n（\widehat{y_i}-\overline{y}）{}^2$
可以证明：$SST=SSE+SSR$
拟合优度： 0 $\le$ $R{}^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{SST-SSE}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}\le 1$

注意：

a.SSR不能单独使用，因为量纲不同，所以用$R{}^2$表示
b.$R{}^2$只能用于拟合函数是线性函数时，拟合结果的评价；线性函数和其他函数和其他函数（例如复杂的指数函数）比较好坏，直接看SSE即可（$R{}^2$是个负数）

线性函数

对于参数线性，而不是对于变量：在函数中，参数仅仅以一次方出现，且不能乘以或除以其他任何的参数，并不能出现参数的复合函数形式
如：$y=a+b{}^{2}x$,$y=a+bx+bcx{}^2$,$y=a(x-b){}^2$,$y=asin(b+cx)$