动态规划中的零钱凑整问题总结

（一）概念

给定一系列拥有不同面值的零钱，使用这些零钱凑出某个特定的面值。

（二）简单示例

给定面值分别为1,4,16,64的硬币，每种硬币有无限个，给定一个N，求组成N最少需要的硬币的数量，若无法组成则返回-1.
python 伪代码如下：

(三) 经典例题

（1）01背包问题

给定n件物品，第i件物品的价值为v[i]，体积为w[i]，现在我们拥有一个容量为V的背包。
求能获得的最大价值。

定义dp[i][j]表示前i个物品在剩余空间为j的时候，能获得的最大价值。

python伪代码如下：

（2）凑数问题

给定一个nums，和一个target，问能否使用nums中的数凑出target值。

示例
输入：Nums= [1,2,5,5], target = 11
输出： true

python代码如下：

（3）Leetcode 322 Coin Change

给定一系列的coins，和一个target，现在需要使用这些coins组成target，问最少需要的硬币数是多少？

示例1：
输入：Coins = [1,2,5], target = 11
输出：3

示例2：
输入：Coins = [2], target = 3
输出：-1

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        
        int[] dp = new int[amount+1]; //dp[0]=0
        for(int i=1;i<=amount;i++)
            dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=0;j<=amount;j++){
                if(j-coins[i]>=0 && dp[j-coins[i]]!=Integer.MAX_VALUE){
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1);
                }
            }
        }
        if(dp[amount]==Integer.MAX_VALUE) //没被修改过，说明凑不了
            return -1;
        else
            return dp[amount];
    }
}

（4）Leetcode 518 Coin Change2

给定一系列的coins，和一个target，现在需要使用这些coins组成target，问有多少种不同的组成方法？

示例1：
输入：Coins = [1,2,5], target = 5
输出：4

示例2：
输入：Coins = [2], target = 3
输出：0

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
     //   if(coins == null && amount==0 ) return 1;
        if(coins==null || amount==0) return 1;
        int[] dp = new int[amount+1]; //dp[i]=0
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=1;j<=amount;j++){
                if(j-coins[i]>=0) 
                    dp[j]+=dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
	}
}

（5）Leetcode 494 Target Sum

给定一系列的非负整数，和一个target，现在需要使用这些整数通过加减法组成target，问有多少种不同的组成方法？

示例1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5

解释：
-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
        int sum=0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++)
            sum+=nums[i];
        if(sum<S) return 0;
        if((sum+S)%2!=0) return 0; //保证下面计算的target为整数
        
        int target = (sum+S)/2;
        int[] dp = new int[target+1];
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            for(int j=target;j>=nums[i]-1;j--){
                if(j-nums[i]>=0 && dp[j-nums[i]]>0)
                    dp[j] += dp[j-nums[i]];
            }
        }  
        return dp[target];
    }
}