代码随想录算法训练营Day58 | dijkstra（堆优化版）精讲、Bellman_ford 算法精讲

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Dijkstra（堆优化版）精讲

• 题目链接：47. 参加科学大会
• 讲解链接：代码随想录
• 状态：一遍AC。

思路与重点

• 邻接矩阵的优点：
  • 表达方式简单，易于理解
  • 检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
  • 适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。
• 邻接矩阵的缺点：遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费且遍历边的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费。
• 邻接表的优点：
  • 对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
  • 遍历节点链接情况相对容易
• 邻接表的缺点：
  • 检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点链接其他节点的数量。
  • 实现相对复杂，不易理解
• 小顶堆的C++实现方式：

// 小顶堆
class mycomparison {
public:
    bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
        return lhs.second > rhs.second;
    }
};
// 优先队列中存放 pair<节点编号，源点到该节点的权值> 
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;

• 完整代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std; 
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
    bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
        return lhs.second > rhs.second;
    }
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
    int to;  // 邻接顶点
    int val; // 边的权重

    Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<list<Edge>> grid(n + 1);

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val; 
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid[p1].push_back(Edge(p2, val));

    }

    int start = 1;  // 起点
    int end = n;    // 终点

    // 存储从源点到每个节点的最短距离
    std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

    // 记录顶点是否被访问过
    std::vector<bool> visited(n + 1, false); 
    
    // 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的权值>
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;


    // 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
    pq.push(pair<int, int>(start, 0)); 
    
    minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0

    while (!pq.empty()) {
        // 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 （通过优先级队列来实现）
        // <节点， 源点到该节点的距离>
        pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();

        if (visited[cur.first]) continue;

        // 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
        visited[cur.first] = true;

        // 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
        for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
            // cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
            if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
                minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
                pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
            }
        }

    }

    if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}

Bellman_ford 算法精讲

• 题目链接：94. 城市间货物运输 I
• 讲解链接：代码随想录
• 状态：直接看题解了。

思路与重点

• 求单源最短路的方法中，使用dijkstra算法的话，要求图中边的权值都为正数。
• 带负权值的单源最短路问题需要用Bellman_ford算法解决。
• 对所有边松弛一次，相当于计算起点到达与起点一条边相连的节点的最短距离。
• Bellman_ford的解题解题过程其实就是对所有边松弛 n-1 次，然后得出得到终点的最短路径。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid;

    // 将所有边保存起来
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid.push_back({p1, p2, val});

    }
    int start = 1;  // 起点
    int end = n;    // 终点

    vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
    minDist[start] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) { // 对所有边 松弛 n-1 次
        for (vector<int> &side : grid) { // 每一次松弛，都是对所有边进行松弛
            int from = side[0]; // 边的出发点
            int to = side[1]; // 边的到达点
            int price = side[2]; // 边的权值
            // 松弛操作 
            // minDist[from] != INT_MAX 防止从未计算过的节点出发
            if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) { 
                minDist[to] = minDist[from] + price;  
            }
        }
    }
    if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径

}