Codeforces 894 B. Ralph And His Magic Field (组合数学)

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本文探讨了一种特殊的矩阵填充问题，目标是让每行每列的乘积分别等于1或-1。对于k=1的情况，给出了详细的填数方法和计数技巧，而k=-1时则涉及奇偶性约束。通过代码实现，展示了如何利用递推公式求解不同k值的方案数。

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题意：

给一个 $n \times m$ 的矩阵，现在要给每个位置填数，只能填 $1$ 或 $- 1$ ，问有多少种方法能够使每行每列乘积均为 $k$ ， $k\in\{-1,1\}$

题解：

先考虑 $k = 1$ 的情况，我们先给前 $n - 1$ 行前 $m - 1$ 列填好数字，这时可以随便填，因此现在的方案数就是 $2^p,\ 其中p=(n-1)*(m-1)$ 。填完之后，我们再填前 $n - 1$ 行的第 $m$ 列的数，这里填的数要和每行前 $m - 1$ 列的乘积相同，因为这样才能保证每行的乘积等于 $k$ 。对于最后一行，我们只要填每列前 $n - 1$ 行的乘积即可，这样保证了每列乘积都是 $k$ 。不过此时是否可以确保最后一行的乘积也是 $1$ ？我们可以发现，整个矩阵的乘积 $=$ 前 $n - 1$ 行的乘积 $*$ 最后一行的乘积 $=$ 最后一列的乘积 $= 1$ ，因此保证最后一行的乘积一定是 $1$ 。

考虑 $k = - 1$ 的情况，刚开始还是先给前 $n - 1$ 行前 $m - 1$ 列填好数字，方案数也是 $2^p$ ，但是当 $n 和 m$ 的奇偶不同时，不能满足最后一行的乘积是 $- 1$ ，此时是无解。

实现细节见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
ll qpow(ll a, ll b) {
	ll ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) {
			ans = ans * a % mod;
		}
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	ll n, m, k;
	cin >> n >> m >> k;
	if ((n + m) & 1 && k == -1) { // 无解情况
		cout << 0 << endl;
		return 0;
	}
	ll ans = 0;
	ans = qpow((ll)2, (n - 1)) % mod;
	ans = qpow(ans, m - 1) % mod;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}