线代的部分知识点梳理

学习最优化导论过程中做的一点笔记，就当梳理知识点.

向量空间与矩阵

1.1 向量与矩阵

1.1.1 定义

$n$ 维向量 : 含有 $n$个数的数组，如：

$$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$$

$a_i$表示向量 $\vec{a}$的第 $i$个元素，定义 $R$为全体实数组成的集合，那么实数组成的 $n$维向量可表示为 $R^n$。

$n$ 维行向量记为：
$$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1,a_2,\cdots ,a_n\end{array}\right]$$

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1.1.2 运算及性质

向量加减：
$$\vec{a}+\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{a}_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n\end{array}\right]$$

具有以下性质：
$$\begin{gathered} \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} \\ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) \\ 存在零向量:\text{0}={\left[\begin{array}{c}0,0,0,\cdots ,0\end{array}\right]}^T,使得\vec{a}+\text{0}=\vec{a} \end{gathered}$$

向量乘积——与标量 $\alpha$ $\in R$ 的乘积

$$\alpha \vec{a}=\left[\begin{array}{c}\alpha a_1,\alpha a_2,\cdots ,\alpha a_n,\end{array}\right]$$

具有以下的性质：
$$\begin{gathered} \alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b} \\ \alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b} \\ \alpha (\beta \vec{a})=(\alpha \beta )\vec{a} \end{gathered}$$

1.1.3 线性相关与线性组合

① 如果方程
$${\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+\cdots +{\alpha }_n{\vec{a}}_n=0$$
其中 ${\alpha }_i(i=1,\cdots ,k)$都等于0，那么 向量集 {${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_n$}是 线性无关的 ，反之称为线性相关。（实际上，包含0向量的集合都是线性相关的）

② 给定向量 $\vec{a}$, 如果存在标量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_k$,使得
$$\vec{a}={\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+\cdots +{\alpha }_n{\vec{a}}_k$$

称$\vec{a}为{\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k$的线性组合

结合①和②给出一个命题：

向量集 {${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k$}是线性相关的，当且仅当集合中的一个向量可以被视为其他向量的线性组合。

进一步来观察一下线性相关和线性无关，现在我们给出两个二维的向量集($R^2$)：
$$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}2,3\\ 2,3\end{array}\right]\vec{b}=\left[\begin{array}{c}1,6\\ 3,4\end{array}\right]$$

把 $\vec{a}$和 $\vec{b}$的每一个向量都画出来：

在向量 $\vec{a}$的图中，${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2$ 共线，二者的线性组合只能表示同样在这条线上的向量，不能完全表示整个二维平面，并且
$$\frac{-3{\vec{a}}_1}{2}+1{\vec{a}}_2=0$$

在向量 $\vec{b}$的图中，${\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2$ 的线性组合可以表示整个二维平面的所有向量。

线性相关——至少有一对向量共线；线性无关——不存在一组共线向量

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1.1.4 生成空间

① 假定${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k$ 是 $R^n$中的任意向量，他们的所有线性组合的集合称为${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k$ 张成的子空间：
s p a n [ a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , ⋯   , a ⃗ k ] = { ∑ i = 1 k α i a ⃗ i : α 1 , ⋯   , α k ∈ R } span[\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_k]= \{\sum_{i=1}^{k} \alpha_i\vec{a}_i:\alpha_1,\cdots,\alpha_k \in R \} span[a 1​,a 2​,⋯,a k​]={i=1∑k​αi​a i​:α1​,⋯,αk​∈R}

如果 $\vec{a}$ 能够被表示为 ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k$的线性组合，那么有
$$span[{\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k]=span[vec{a}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k,\vec{a}]$$

② 给定一个子空间，如果存在线性无关的向量集合 { a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , ⋯   , a ⃗ k } \{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_k\} {a 1​,a 2​,⋯,a k​} 使得 子空间=$span[{\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k]$ ,那么这组向量就是子空间的一组基。所有基都包含同样数量的向量，这个数量称为子空间的维数，记为$dimV$.

给出一命题：
如果 { a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , ⋯   , a ⃗ k } \{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_k\} {a 1​,a 2​,⋯,a k​}是子空间的一组基，那么子空间中的任意向量 $\vec{a}$都可以唯一的表示为：
$$\vec{a}={\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+\cdots +{\alpha }_n{\vec{a}}_k$$
其中，${\alpha }_i\in R,i=1,2,\cdots ,k$。

$R^n$ 的标准基：

$${\vec{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 0\end{array}\right]{\vec{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 0\end{array}\right]{\vec{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\\ 0\end{array}\right]\cdots {\vec{e}}_n=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

在标准基下，向量 $\vec{x}$可表示为：
$$\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=x_1{\vec{e}}_1+x_2{\vec{e}}_2+\cdots +x_n{\vec{e}}_n$$

1.1.5 矩阵

矩阵是指行列数组，通常用大写粗体字母表示($A$)。$m$ 行$n$列矩阵称为$m\times n$矩阵，记为：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

转置记为:
$$A^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$
第 $k$列用${\vec{a}}_k$表示：
$$vec{e}_n=\left[\begin{array}{c}{\vec{a}}_{1k}\\ {\vec{a}}_{2k}\\ ⋮\\ {\vec{a}}_{mk}\end{array}\right]$$

$R^{m\times n}$ 表示所有 $m\times n$矩阵组成的集合

矩阵的秩记作 $rankA$，$rankA$其实就是 $span[{\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\cdots ,{\vec{a}}_k]$的维数。

以下情况，矩阵$A$的秩不会繁盛变化：
①矩阵$A$的某个（些）列乘以非零标量 ②矩阵内部交换次序 ③矩阵中加入一列，该列是其他列的线性组合。

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如果矩阵 $A$的行数等于列数，称之为 方阵

行列式是每个方阵对应的一个标量，记作 $detA$或 $|A|$。方阵的行列式是个列的函数，具有以下性质

1、对于任意的 $\alpha \beta \in R$ 和 ${\vec{a}}_k^1,{\vec{a}}_k^2\in R$

$$\begin{gathered} det[{\vec{a}}_1,\cdots ,{\vec{a}}_{k-1,},\alpha {\vec{a}}_k^{(1)}+\beta {\vec{a}}_k^{(2)},{\vec{a}}_{k+1},\cdots ,{\vec{a}}_n] \\ =\alpha det[{\vec{a}}_1,\cdots ,{\vec{a}}_{k-1,},{\vec{a}}_k^{(1)},{\vec{a}}_{k+1},\cdots ,{\vec{a}}_n] \\ +\beta det[{\vec{a}}_1,\cdots ,{\vec{a}}_{k-1,},{\vec{a}}_k^{(2)},{\vec{a}}_{k+1},\cdots ,{\vec{a}}_n] \end{gathered}$$

2、如果对于某个 $k$，有 ${\vec{a}}_k={\vec{a}}_{k+1}$,那么有 $detA=0$

3、$R^n$的标准基组成的矩阵，$det=1$

方阵行列式的具体知识点之后慢慢补充

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1.2 线性方程组

1.2.1 基础概念

给定包含 $n$个未知量的 $m$个方程：
$$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ & ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_1\end{array}$$
可写成矩阵模式：
$$Ax=b$$
$A$为系数矩阵：
$$A=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$$
增广矩阵定义为：
$$[A,b]=[a_1,a_2,\cdots ,a_n,b]$$
未知数向量：
$$\text{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$

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1.2.2 方程解的情况

①、方程组 $Ax=b$有解，当且仅当
$$rankA=rank[A,b]$$

换个角度想，$m$个列向量表示在坐标系中的 $m$个不同的方向，$x_1,\cdots ,x_n$表示对应的列向量在自身方向上移动的距离，$b$就是最终要到达的向量，如果在一个三维空间中，要表示空间中的任意一点，需要三个不共线的向量组合才能实现，这就要求提供方向的向量子空间要包含目标向量。

②、考虑方程$Ax=b$，其中$A\in R^{m\times n}$且$rankA=m$.可以通过对 $n-m$个未知数赋任意值并求解其他未知数从而获得解。

由 $rankA=m$我们可以得知它是一个满秩矩阵，系数矩阵的子空间覆盖了整个$R^m$；选取 $m$个线性无关的向量，并把剩下 $n-m$项的移项：
$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_m=b-a_{m+1}{x}_{m+1}-\cdots -x_n{a}_n$$
对 $x_{m+1},\cdots ,x_n$赋值，并将左边的向量组整合为方阵 $B$,可写成：
$$B\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]=[b-a_{m+1}{x}_{m+1}-\cdots -x_n{a}_n]$$
明显 $detB\ne 0$,所以左乘$B^{-1}$:
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]=B^{-1}[b-a_{m+1}{x}_{m+1}-\cdots -x_n{a}_n]$$

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1.3 內积和范数

1.3.1 实数

实数 $a$的绝对值记为$|a|$,定义为：
$$|a|=\{\begin{array}{ll}a& a\ge 0\\ -a& a<0\end{array}$$
有以下公式成立：

1. $|a|=|-a|$

2. $-|a|\le a\le |a|$

3. $|a+b|\le |a|+|b|$

4. $||a|-|b||\le |a-b|\le |a|+|b|$

5. $|ab|=|a||b|$

6. 如果 $|a|\le c$且 $|b|\le d$，那么有$|a+b|\le c+d$

7. 不等式 $|a|<b$等价于 $-b<a<b$

8. 不等式 $|a|>b$,等价于 $a>b$或者 $-a>b$

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1.3.2 內积

对于 $x,y\in R^n$,定义欧式內积为:
$$<\vec{x},\vec{y}>=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x^{T}y$$
內积是一个实值函数$<\cdot ,\cdot >:R^n\times R^n\to R$,具有以下性质：

1. 非负性：$<x,x>\ge 0$, 当且仅当 $x=0$时，$<x,x>=0$

2. 对称性：$<x,y>=<y,x>$

3. 可加性：$<x+y,z>=<x,z>+<y,z>$

4. 齐次性：对于任意 $r\in R$,总有$<rx,y>=r<x,y>$成立

给定向量 $x,y$,如果 $<x,y>=0$, 那么 $x$和 $y$是正交的。(直观反映就是垂直)

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1.3.3 范数

向量 $x$的欧式范数定义为：
$$||x||=\sqrt{<x,x>}=\sqrt{x^{T}x}$$
柯西-施瓦茨不等式：对于 $R^n$任意两个向量 $x$和 $y$：$|<x,y>|\le ||x||||y||$

向量 $x$的欧式范数$||x||$具有如下性质：

1. 非负性：$||x||\ge 0$, 当且仅当$x=0$时， $||x||=0$

2. 齐次性：$||rx||=|r|||x||,r\in R$

3. 三角不等式：$||x+y||\le +||x||+||y||$

欧式范数是通用向量范数的一个特例，通用向量范数是满足非负性、齐次性和三角不等式的任意函数。

$p$范数:

∣ ∣ x ∣ ∣ p = { ( ∣ x 1 ∣ p + ⋯ + ∣ x n ∣ p ) 1 / p 1 ≤ p < ∞ m a x { ∣ x 1 ∣ , ⋯   , ∣ x n ∣ } p = ∞ ||x||_p=\begin{cases} (|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{1/p}&1\leq p<\infty\\ max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\}&p=\infty \end{cases} ∣∣x∣∣p​={(∣x1​∣p+⋯+∣xn​∣p)1/pmax{∣x1​∣,⋯,∣xn​∣}​1≤p<∞p=∞​
（欧式范数就是2范数）

用范数定义连续函数。如果对于所有的 $\epsilon >0$, 都存在一个 $\delta >0$,使得$||y-x||<\delta \Rightarrow ||f(y)-f(x)||<\epsilon$, 那么函数 $\text{f}:R^n\to R^m$,在点 $x$是连续的。

复数空间 $C^n$的內积定义 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i{\bar{y}}_i$，上划线表示共轭，$C^n$上的內积是一个复值函数，具有以下性质：

1. $<x,x>\ge 0$,当且仅当 $x=0$时，$<x,x>=0$

2. $<x,y>=<y,x>$

3. $<x+y,z>=<x,z>+<y,z>$

4. $<rx,y>=r<x,y>$,其中$r\in C$

利用性质1至性质4，可以推出其他的一些性质，如：
$$<x,r_{1}y+r_{2}y>=\overline{r_1}<x,y>+\overline{r_2}<x,z>$$
其中$r_1,r_2\in C$

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变换

建议看这个：https://www.bilibili.com/video/BV1ib411t7YR?from=search&seid=4225163426800625212

2.1 linear map——线性映射

给定函数 $\zeta :R^n\to R^m$,如果

• 1. 对于任意 $x\in R^n$和 $a\in R$,都有 $\zeta (ax)=a\zeta (x)$
• 2. 对于任意 $x,y\in R^n$,都有$\zeta (x+y)=\zeta (x)+\zeta (y)$

那么称函数 $\zeta$为一个linear map（这部分的翻译有些问题，以英文为主）

接下来我们分别为 $R^n$和$R^m$指定一组基， ,令 $y=\zeta (x)$,那么上述的 $linearmap$就可以使用矩阵表示：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n \\ {y}^{\prime }=y_1{e}_1+\cdots +y_m{e}_m \\ {y}^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{1,1}& A_{1,2}& \cdots & A_{1,n}\\ A_{2,1}& A_{2,2}& \cdots & A_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{m,1}& A_{m,2}& \cdots & A_{m,n}\end{array}\right]x^{\prime } \end{gathered}$$
当两个向量空间指定的都是标准基，那么矩阵 $A$满足：
$$\zeta (x)=Ax$$
矩阵 $A$就是 $\zeta$ 的变换矩阵

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上面一部分我们考虑的是从$R^n\to R^m$的线性变换（线性映射），接下来我们讨论在自身向量空间 $R^n\to R^n$中的变换。

我们先看一个例子:

给定一个linear map：$\zeta (x)=8x$,n=2
$$\zeta (x)=5x=\left[\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 8\end{array}\right]x$$
对 $x$的每个标准基都进行变换然后合成一个矩阵，这样就确定了一个变换矩阵。

首先，令 { e 1 , e 2 , ⋯   , e n } \{e_1,e_2,\cdots,e_n\} {e1​,e2​,⋯,en​} 和 { e 1 ′ , e 2 ′ , ⋯   , e n ′ } \{e_1^{'},e_2^{'},\cdots,e_n^{'}\} {e1′​,e2′​,⋯,en′​}是 $R^n$中的两组基。定义矩阵 $T$为
$$T=[e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},\cdots ,e_n^{{}^{\prime }}{]}^{-1}[e_1,e_2,\cdots ,e_n]$$
那么 $T$称为从 { e 1 , e 2 , ⋯   , e n } \{e_1,e_2,\cdots,e_n\} {e1​,e2​,⋯,en​} 到 { e 1 ′ , e 2 ′ , ⋯   , e n ′ } \{e_1^{'},e_2^{'},\cdots,e_n^{'}\} {e1′​,e2′​,⋯,en′​}的转换矩阵，显然有：
$$[e_1,e_2,\cdots ,e_n]=[e_1^{{}^{\prime }},e_2^{{}^{\prime }},\cdots ,e_n^{{}^{\prime }}]T$$
即 $T$ 的第 $i$ 列是 $e_i$ 关于 { e 1 ′ , e 2 ′ , ⋯   , e n ′ } \{e_1^{'},e_2^{'},\cdots,e_n^{'}\} {e1′​,e2′​,⋯,en′​}的坐标向量，可以证明$x^{\prime }=Tx$(后续补充证明过程)

考虑线性变换
$$\zeta :R^n\to R^n$$
$A$为$\zeta$关于 { e 1 , e 2 , ⋯   , e n } \{e_1,e_2,\cdots,e_n\} {e1​,e2​,⋯,en​} 的矩阵表示，B为其关于 { e 1 ′ , e 2 ′ , ⋯   , e n ′ } \{e_1^{'},e_2^{'},\cdots,e_n^{'}\} {e1′​,e2′​,⋯,en′​}的矩阵表示，令$y=Ax$且$y^{\prime }=B{x}^{\prime }$,因此有$y^{\prime }=Ty=TAx=B{x}^{\prime }=BTx$,从而可得$TA=BT或A=T^{-1}BT$

给定两个矩阵 $A、B$，如果存在一个非奇异矩阵 $T$,使得$A=T^{-1}BT$,那么称 $A$和 $B$是相似的。在不同的基下，相似矩阵对应的线性变换是相同的。

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2.2 特征值与特征向量

2.2.1 定义与部分定理

如果 $A$是一个 $n\times n$实数方阵,存在标量 $\lambda$ (可能是复数)和非零向量 $v$，满足：
$$Av=\lambda v$$
$\lambda$称为特征值，$v$称为 $A$的特征向量。

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$\lambda$为特征值的充要条件是矩阵：$\lambda I-A$是奇异的，$det[\lambda I-A]=0,I$为单位阵，即有 $n$次方程成立：
$$det[\lambda I-A]={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0$$
多项式 $det[\lambda I-A]$称为 $A$的特征多项式，上述方程为特征方程。特征方程必定有 $n$个根（其中可能包含相同的根），即为$A$的$n$个特征值。如果 $A$有$n$个相异的特征值，那么它也有$n$个线性无关的特征向量。

对于$n\times n$的实对称矩阵，其 $n$个特征向量是相互正交的。

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证明：此处仅针对 $n$个特征值相异的情况下

假定$A{v}_1={\lambda }_1{v}_1,A{v}_2={\lambda }_2{v}_2$,其中${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$,那么有
$$<A{v}_1,v_2>=<{\lambda }_1{v}_1,v_2>={\lambda }_1<v_1,v_2>$$
因为$A=A^T$,所以：
$$<A{v}_1,v_2>=<v_1,A^T{v}_2>=<v_1,A{v}_2>={\lambda }_2<v_1,v_2>$$
因此
$${\lambda }_1<v_1,v_2>={\lambda }_2<v_1,v_2>$$
因为${\lambda }_1\ne {\lambda }_1$,所以：
$$<v_1,v_2>=0$$

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如果 $A$是对称阵，那么它的特征向量集合构成 $R^n$空间中的正交基，对这组基进行标准化后，使得每个向量的范数都是1，那么可以定义矩阵：
$$T=[v_1,v_2,\cdots ,v_n]$$
该矩阵满足
$$T^{T}T=I$$
如果一个矩阵的转置等于它的逆，那么称这个矩阵为正交矩阵。

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2.3 正交投影

之前介绍了子空间的概念，接上这个概念，如果 $V$是$R^n$的子空间，那么$V$的正交补记为 $V^{\perp }$，包含与 $V$中每一个向量正交的所有向量，因此
V ⊥ = { x : v T x = 0 , v ∈ V } V^\bot=\{x:v^Tx=0,v\in V\} V⊥={x:vTx=0,v∈V}
$V$的正交补也是一个子空间，$V$与$V^{\perp }$能够张成 $R^n$,也就是说对于每一个$v\in R^n$，都可以唯一的表示为：
$$x=x_1+x_2(x_1\in V,x_2\in V^{\perp })$$
上式称为 $x$相对于$V$的正交分解，$x_1,x_2$称为$x$在子空间$V,V^{\perp }$上的正交投影。$R^n=V⨁V^{\perp }$表示$R^n$是$V,V^{\perp }$的直和，对于所有的 $x\in R^n$，都有 $Px\in V且x-Px\in V^{\perp }$，则称线性变换 $P$是 $V$上的正交投影算子。

引入两个概念。矩阵$A(A\in R^{m\times n})$的值域空间和零空间（像空间和核）

值域空间(像空间)：
R ( A ) ≜ { A x : x ∈ R n } R(A)\triangleq \{ Ax:x\in R^n \} R(A)≜{Ax:x∈Rn}
零空间（核）：
N ( A ) ≜ { x ∈ R n : A x = 0 } N(A)\triangleq \{x\in R^n:Ax=0 \} N(A)≜{x∈Rn:Ax=0}
很明显，这两个都是子空间。

2.4 二次型函数

定义为$f:R^n\to R$,具有以下形式的函数：
$$f(x)=x^{T}Qx$$
其中$Q$是$n\times n$的实数矩阵，不失一般性，假定$Q$是对称矩阵，即$Q=Q^T$，即使它不是对称的，可以通过：
$$Q_0=Q_0^T=\frac{1}{2}(Q+Q^T)$$
如果$x^{T}Qx>0$,那么二次型是正定的，对于所有的$x^{T}Qx\ge 0$,二次型是半正定的。$x^{T}Qx<$二次型是负定的，$x^{T}Qx\le 0$二次型是半负定的。