最小生成树 A 畅通工程

省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通(但不一定有直接的公路相连,只要能间接通过公路可达即可)。经过调查评估,得到的统计表中列出了有可能建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程序,计算出全省畅通需要的最低成本。 

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 100 );随后的 N 
行对应村庄间道路的成本,每行给出一对正整数,分别是两个村庄的编号,以及此两村庄间道路的成本(也是正整数)。为简单起见,村庄从1到M编号。当N为0时,全部输入结束,相应的结果不要输出。 

Output

对每个测试用例,在1行里输出全省畅通需要的最低成本。若统计数据不足以保证畅通,则输出“?”。 

Sample Input

3 3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
1 3
2 3 2
0 100

Sample Output

3
?

并差集 结构体排序 从小往大走  边走边记录长度和边数 最后判断即可

 

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include <iostream>
#include<string.h>     
#include<algorithm>
#define ll long long
#define hengheng main ()
using namespace std;
const int MAX=1005;
int pre[MAX+5],n,m;
struct money{
    int s;
    int t;
    int mon;
}edge[MAX+5];
int cmp(money x,money y)
{
    return x.mon<y.mon;
}
int Find(int x)
{
    if(pre[x]==x)return x;
    return pre[x]=Find(pre[x]);
}
int cun(int a,int b)
{
    int fa=Find(a);
    int fb=Find(b);
    if(fa!=fb){
        pre[fa]=fb;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int hengheng
{
    int ans,res;
    while(scanf("%d%d",&m,&n))
	{
			if(m==0) break;
            for(int i=0;i<MAX;i++){
                pre[i]=i;
            }
            for(int i=0;i<m;i++)
			{
                scanf("%d%d%d",&edge[i].s,&edge[i].t,&edge[i].mon);
            }
            sort(edge,edge+m,cmp);
            ans=0,res=0;// 价格  路的条数 
            for(int i=0;res<n-1&&i<m;i++) // dwq
			{
               int x=edge[i].s;
               int y=edge[i].t;
               if(cun(x,y)!=0)
			   {
                    ans+=edge[i].mon;
                    res++;
                }
            }
            if(res==n-1)
                printf("%d\n",ans);
            else
                printf("?\n");
    }
    return 0;
}

 

### 解决村村通问题的最小生成树算法应用 #### 背景描述 某省调查乡村交通状况,得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。为了实现“畅通工程”,即确保省内任何两个村庄之间可以通过公路连接,并且使得铺设的公路总长度最短,可以采用最小生成树算法来规划最优的道路建设方案[^3]。 #### Prim算法的应用 对于给定的一组村庄及其之间的路径成本,在构建最小生成树的过程中,Prim算法从任选的一个起点出发逐步扩展到其他节点直到覆盖所有的村庄为止。每次迭代过程中都会挑选当前已加入集合内的点所能到达但尚未被访问过的最近邻居作为下一个要添加的新成员;如此这般循环往复直至所有顶点都被囊括进来形成一颗完整的树形结构。这种方法特别适用于稠密图的情况。 ```python import sys def prim_algorithm(graph, start_vertex): n = len(graph) key_values = {v: float('inf') for v in range(n)} parent = [-1]*n mst_set = [False]*n key_values[start_vertex], parent[start_vertex] = 0, None for _ in range(n-1): u = min_key(key_values, mst_set) mst_set[u] = True for v in range(n): if graph[u][v]>0 and not mst_set[v]: if graph[u][v]<key_values[v]: key_values[v]=graph[u][v] parent[v]=u result_edges = [] for i in range(1,n): result_edges.append((parent[i],i)) return result_edges def min_key(keys,mstSet): minimum = sys.maxsize min_index=-1 for vertex in range(len(mstSet)): if keys[vertex]<minimum and not mstSet[vertex]: minimum=keys[vertex] min_index=vertex return min_index ``` #### Kruskal算法的应用 而当面对的是较为稀疏的地图分布时,则更推荐使用Kruskal算法来进行处理。此方法并不拘泥于特定起始位置的选择而是直接着眼于全局视角下的每一对可能构成边的关系之中寻找权重最低者先行纳入考虑范围之内再依照其关联端点是否已经存在于同一棵树下来决定最终能否正式成为新添入的部分之一。随着不断重复这一过程直至所剩未连结部分无法继续组合成新的有效分支则整个运算结束从而获得一张由原始输入派生出来的具有最少累积耗费特性的森林形态——也就是所谓的最小生成树了[^5]。 ```python class DisjointSets(object): def __init__(self,size): self.parent=[None]*size self.rank =[0]*size def make_set(self,x): self.parent[x]=x self.rank[x]=0 def find(self,x): if self.parent[x]!=x: self.parent[x]=self.find(self.parent[x]) return self.parent[x] def union(self,x,y): root_x=self.find(x) root_y=self.find(y) if root_x !=root_y: if self.rank[root_x]>self.rank[root_y]: self.parent[root_y]=root_x elif self.rank[root_x]<self.rank[root_y]: self.parent[root_x]=root_y else : self.parent[root_y]=root_x self.rank[root_x]+=1 def kruskal_algorithm(edges,v_num): edges.sort() ds=DisjointSets(v_num) res_edge=[] for edge in edges: weight,u,v=edge if ds.find(u)!=ds.find(v): res_edge.append(edge) ds.union(u,v) return res_edge ```
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