[Jzoj] 1857. 最大值

最新推荐文章于 2021-02-27 16:59:54 发布

原创最新推荐文章于 2021-02-27 16:59:54 发布 · 109 阅读

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本文探讨了一种基于动态规划的算法，用于计算特定条件下数组更新的次数。具体而言，对于一个长度为N且元素值在1到K之间的数组，我们关注的是在进行一系列更新操作后，更新恰好发生P次的不同数组数量。文章详细介绍了如何构建状态转移方程，并通过前缀和优化来提高计算效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

如果一个包含 $N$ 个元素的数组 $a$ 里面的元素的值是在 $1 . . . K$ 之间的整数，存在多少个不同的数组 $a$ ，进行了如上扫描之后， $m a x$ 恰好进行了 $P$ 次更新

把答案 $mod (10^9+7)$ 输出

题目解析

$D P$

数组 $f [i] [j] [k]$ 表示前 $i$ 位，最大值为 $j$ ,并且已经更新了 $k$ 次的方案数

那么 $f [i] [j] [k] = f [i - 1] [q] [k - 1] + f [i - 1] [j] [k] * j$ ,其中 $q$ 为所有小于 $j$ 数字

因为当我们在最后一位加入 $j$ 时,所有第 $i$ 位之前最大的数比 $j$ 小的方案都会更新一次,所以要加上所有的 $f [i - 1] [q] [k - 1]$ ， $q$ 要小于 $k$

如果第 $i$ 位之前最大的数已经为 $j$ ,则本次不会更新,但第 $i$ 位可以填入任何比 $j$ 小的数,所以加上 $f [i - 1] [j] [k] * j$

最后输出 $f [n] [k] [p]$ 即可

可用前缀和优化一下第二步

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int M=1e9+7;
int T,n=100,k=300,p=99,ans;
long long f[105][305][105],sum[105][305][105];

int main()
{
	for(int i=1;i<=k;i++)
    {
      f[1][i][0]=1;
      sum[1][i][0]=i%M;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=k;j++)
     {
       f[i][j][0]=((f[i][j][0]%M)+(f[i-1][j][0]%M)*(j%M))%M;
       sum[i][j][0]=((sum[i][j][0]%M)+(f[i][j][0]%M)+(sum[i][j-1][0]%M))%M;
       for (int s=1;s<=p;s++)
       {
         f[i][j][s]=((f[i][j][s]%M)+(sum[i-1][j-1][s-1]%M)+(f[i-1][j][s]%M)*(j%M))%M;
         sum[i][j][s]=((sum[i][j][s]%M)+(f[i][j][s]%M)+(sum[i][j-1][s]%M))%M;
       }
     }
	cin>>T;
	while(T--)
	{
	  cin>>n>>k>>p;
	  cout<<sum[n][k][p]<<endl;
	}
}