CF Moamen and XOR-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43900484/article/details/119642039

本文探讨了CFMoamenandXOR原理，解析了奇数个1异或为1，偶数个1异或为0的性质，并通过具体的数学推导，讨论了给定序列中特定条件下的元素分布。对于n为偶数和奇数时，计算了y=0的特殊情况和总的可能情况，涉及组合数和异或运算的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

CF Moamen and XOR
奇数个1异或为1，偶数个1异或为0

记 $x=\sum_{i=2}^na_{i-1}\&a_i$ $y=\sum_{i=2}^n a_{i-1}xora_i$

n为偶数时

第 $x_i$ 为1时,说明这 $n$ 个数的第 $i$ 为全为1，而 $y_i$ 为则必定为0

若 $x_i$ 为0，则 $y_i$ 为为0的情况为 $C_n^0+C_n^2+...+C_n^{n-2}+C_n^n-C_n^n=2^{n-1}-C_n^n=2^{n-1}-1$

在 $x_i=1,y_i=0$ 的情况下，后面 $n - i$ 位可以任意取，个数为 $\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n$ ,总共 $2^n*(n-i)$

前面 $i - 1$ 位，只需考虑 $x = 0, y = 0$ 的情况，总共 $2^{n-1}-1)*(i-1)$

这是因为如果从前往后枚举每一位 $x = 1, y = 0$ 的情况时，算到后面时 $i$ 前面存在 $x = 1, y = 0$ 的情况会被前面算到。

n为奇数时

第 $x_i$ 为1时,说明这 $n$ 个数的第 $i$ 为全为1，而 $y_i$ 为则必定为1

若 $x_i$ 为0，则 $y_i$ 为为0的情况为 $C_n^0+C_n^2+...+C_n^{n-1}=2^{n-1}$

这一位的总情况为 $2^{n-1}+1$

所以每一位 $x_i=y_i$ 才满足条件，故总情况为 $2^{n-1}+1)*k$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll qmi(ll x,ll y)
{
    ll res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n,k;
        cin>>n>>k;
        int t=qmi(2,n-1);
        ll ans=0;
        if(n%2)
        {
            ans=qmi(t+1,k);
        }
        else
        {
               ans=qmi(t-1,k);
               for(int i=1;i<=k;i++)
               {
                   ans=(ans+qmi(t-1,i-1)*qmi(t*2,k-i)%mod)%mod;
               }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}