Hash函数与生日攻击

简介

---

Hash函数也叫杂凑函数、散列函数、哈希函数，可以把消息或数据压缩成固定长度的摘要

性质

---

• 等长性：给出任意的输入，得到的输出（摘要）长度不变。比如sha-1得到的摘要固定是160位，md5为128位
• 单向性：任给x，得到$y=h(x)$是容易的，任给$y=h(x)$，得到x是困难的
• 抗弱碰撞性：已知x，找到不与x相等的y满足$h(x)=h(y)$是不可行的
• 抗强碰撞性：找到任意两个不同的输入$x，y$使得$h(x)=h(y)$是不可行的

哈希碰撞

---

• 根据抗碰撞性，不会有两个不同的输入，使得哈希运算后的输出相等
• 如果找到反例，比如上图中John和Sandra的输出相等，则称产生了哈希碰撞

空间分析

---

16个二进制位的哈希值，产生碰撞的可能性是 65536 分之一。也就是说，如果有65537个用户，就一定会产生碰撞。哈希值的长度扩大到32个二进制位，碰撞的可能性就会下降到 4,294,967,296 分之一。

生日悖论

---

在一个房间中，如果有23人，则存在两个人的生日相同的概率要大于50%。这个“悖论”并非是逻辑中的悖论，而是与直观感觉相悖，因此被称为生日悖论。当人数增加时，该概率也会增加。若人数为50，则存在两个人的生日相同的概率要大于97%。

n个人中，每个人的生日日期都不同的概率：
$$\bar{p}(n)=1\cdot \left(1-\frac{1}{365}\right)\cdot \left(1-\frac{2}{365}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right)=\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \frac{362}{365}\cdots \frac{365-n+1}{365}$$
p(n）表示n个人中至少2人生日相同的概率

$$p(n)=1-\bar{p}(n)=1-\frac{365!}{365^n(365-n)!}$$

哈希碰撞

---

• 因此，由上可知，如果哈希值的取值空间是365，只要计算23个哈希值，就有50%的可能产生碰撞
• 为了防止哈希碰撞，需要增大哈希映射的空间