小球投盒问题

n个球放k个盒子问题归纳

问题描述：有n个球，放进k个盒子，有多少种不同的放法？（球必须全部放在盒子中，不能丢弃）

球可能相同，也可能不相同，盒子亦然。另外，盒子可以没有限定，可以最多一个球，可以最少一个球，所以有12种情况。

情况	球是否相同	盒子是否相同	盒子的限制	答案
1	不同	不同	不限制	$k^n$
2	不同	不同	最多1个	$A_k^n$
3	不同	不同	最少1个	$k!\cdot S\left(n,k\right)$
4	相同	不同	不限制	$C_{n+k-1}^{k-1}$
5	相同	不同	最多1个	$C_k^n$
6	相同	不同	最少1个	$C_{n-1}^{k-1}$
7	不同	相同	不限制	${\sum }_{i=1}^{k}S\left(n,i\right)$
8	不同	相同	最多1个	$1$
9	不同	相同	最少1个	$S\left(n,k\right)$
10	相同	相同	不限制	$D\left(n,k\right)$
11	相同	相同	最多1个	$1$
12	相同	相同	最少1个	$D\left(n-k,k\right)$

如果盒子的限制是最多一个，那么要求 $n\le k$
如果盒子的限制是最少一个，那么要求 $n\ge k$
否则答案为0

各种情况详解

1.每个球都有 $k$ 种盒子可以放，乘法原理得答案为 $k^n$ 。

2.每个盒子最多一个球，那么盒子只有两种状态，没有球或者有一个球，先用组合数 $C_k^n$ 选出有球的盒子，球各不相同，所以再乘 $n!$ 。最终答案为 $A_k^n$ 。

3.$S\left(n,k\right)$：第二类斯特林数，将n个不同元素划分为k个非空集合的划分方法数。递推公式：$S\left(n,k\right)=S\left(n-1,k-1\right)+k\cdot S\left(n-1,k\right)$ 。
由于盒子各不相同，所以需要再乘盒子的排列 $k!$ 。

4.隔板法，由于每个部分可以为空，所以相当于 $k-1$ 个隔板与这 $n$ 个球任意排列，也就是组合数 $C_{n+k-1}^{k-1}$ 。

5.每个盒子最多一个球，那么盒子只有两种状态，没有球或者有一个球.用组合数 $C_k^n$ 选出有球的盒子即可.

6.隔板法，由于每个部分不能为空，所以 $n$ 个球有 $n-1$ 个位置，用组合数 $C_{n-1}^{k-1}$ 选择 $k-1$ 个位置插入隔板即可。

7.和第3种情况类似，由于盒子可以为空，所以可以看成将 $n$ 个不同的元素划分为 $1\sim k$ 个非空集合，答案为 ${\sum }_{i=1}^{k}S\left(n,i\right)$ 。

8.每个盒子最多一个球，那么盒子只有两种状态，没有球或者有一个球。不区分盒子，每个球都找一个盒子就可以了。

9.和第7种情况类似，盒子不能为空，所以可以看成将 $n$ 个不同的元素划分为 $k$ 个非空集合，答案为 $S\left(n,k\right)$ 。

10.划分数。总划分数 $D\left(n,k\right)$ 是指将正整数 $n$ 划分为不超过 $k$ 个正整数的划分总数。考虑 $D\left(n,k\right)$ ，如果至少一个盒子不放球，就有 $D\left(n,k-1\right)$ 种方法，如果所有盒子都放球，那么从每个盒子中拿出一个球，剩余 $n-k$ 个球，相当于把这 $n-k$ 个球放到 $k$ 个盒子中，即 $D\left(n-k,k\right)$ 。可得递推公式
$$D\left(n,k\right)=\{\begin{array}{c}D\left(n,k-1\right)+D\left(n-k,k\right),n\ge k\\ D\left(n,k-1\right),n<k\end{array}$$

11.每个盒子最多一个球，那么盒子只有两种状态，没有球或者有一个球。不区分盒子，每个球都找一个盒子就可以了。

12.即第10种情况每个盒子都放球,$D\left(n-k,k\right)$