《剑指offer》面试题10：题目1斐波那契数列（C++实现）

题目描述

要求输入一个n,输出斐波纳妾数列的第n项。n<=39
斐波那契数列定义如下。

$$f(n)=\{\begin{array}{rlr}0& & \text{n=0}\\ 1& & \text{n=1}\\ f(n-1)+f(n-2)& & \text{n>1}\end{array}$$

思路一：简单的递归

在我们刚刚入门的时候，几乎在所有的C语言书上，都会介绍斐波那契数列。
所以我们很快能写出如下的代码：

//运行时间：880ms
//占用内存：504K
class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
		if(n<=0) return 0;
		if(n==1||n==2) return 1;//这里要加上或者n=2才能在牛课上提交出结果，否则就是超时
		
        return  Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
    }
};

很好，说明你还记得以前学的东西。但是我们现在是要马上去面试的人了，怎么能写这么low的代码呢？
说它low是因为上述的代码有很严重的递归问题，比如求解f(10)，你需要求解f(9)和f(8）。而求解f(9),你又需要去求解f(8)和f(7)。
说到这里，你会发现上面的f(8)咱们就求解了两遍！如果是一个特别大的数字，那么重复求解的问题会呈指数级的急剧增加，所以我们得想个法子，把这个重复求解的问题把它解决了！

思路二：用数组记录f(n)

最简单的思路，就是用一个数组来记录下我们的f(n),每次计算f(n)前，我们先查询这个值是否计算过，如果没有，就执行递归调用计算它，并把它存储下来，下次直接调用就可以了。
如果有，那就更好了，咱们不用客气，直接拿来用，这样就省去了很多重复求解的问题。

//运行时间：3ms
//占用内存：480K
class Solution {
public:
    int memo[40]={-1};
    int Fibonacci(int n) {
        memo[0] = 0;
        memo[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            memo[i]=memo[i-1]+memo[i-2];
        return  memo[n];
    }
};

思路三：自底向上计算（动态规划）

既然可以用递归实现，我们自然可以想到用动态规划去实现。
首先根据f(0)和f(1)去推算f(2),再根据f(1)和f(2)去推算f(3),依次类推，直到推算出我们要求的f(n)，再把这个值返回即可。

//运行时间：4ms
//占用内存：480K
class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n<=0) return 0;
        if(n==1||n==2) return 1;
        
        int FibMinusTwo = 0;//定义f(n-1)
        int FibMinusOne = 1;//定义f(n-1)
        int FibN= 0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            FibN = FibMinusOne + FibMinusTwo;//f[i]=f[i-1]+f[i-2];
            FibMinusTwo = FibMinusOne;//更新f[i-2];
            FibMinusOne = FibN;//更新f[i-1];
          }       
        return  FibN;
    }
};

相对于思路二而言，思路三更加节省空间。

小结

思路一代码会有很多重复计算的地方，不太可靠。
思路二应用了memo来记录，避免了思路一里面很多重复计算的地方。
思路三相对于思路二而言，在占用内存上又有了更好的优化。

整体而言，思路三最佳。

参考文献

《剑指offer》

牛课网刷题链接link.