网络流算法总结1——网络流最大流概述_网络流怎么残余流量-优快云博客

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网络流算法总结1——网络流最大流概述

网络流中的一些概念
性质&定理证明

网络流中的一些概念

边（弧）：在网络流问题中基本上所有的边都为有向边，所以在不加说明的情况下，文中出现的所有边都为有向边，有向边也成为弧，记为有序对 $(a, b)$
图：一堆点加上一堆边就是一张图，也就是说，图是边集加上点集，用 $G=\langle V,E\rangle$
路径：图中的一条路径就是一串相连的点，一条路径 $v_1,v_2,\cdots\cdots,v_n$ 满足 $\forall i\in [1,n],v_i\in V$ 且 $\forall i\in [1,n),(v_i,v_{i+1})\in E$ 或 $(v_{i+1},v_i)\in E$
前向弧：一条路径 $v_1,v_2,\cdots\cdots,v_n$ 中，如果 $(v_i,v_{i+1})\in E$ ，则称 $v_i,v_{i+1})$ 为前向弧
后向弧：一条路径 $v_1,v_2,\cdots\cdots,v_n$ 中，如果 $(v_{i+1},v_i)\in E$ ，则称 $v_i,v_{i+1})$ 为后向弧
割：一个图中如果存在一个边集 $E^{'}$ ，使得删除 $E^{'}$ 中的边后，原图分为两个集合，且这两个集合没有任何连边，那么 $E^{'}$ 就称为图 $G$ 的一个割
边的容量：一条边所能承受的流量上界称为容量， $(u, v)$ 的容量用 $C (u, v)$ 表示，类似于水管的截面面积，水管的截面面积就是它所能承受的水流流量上界
割的容量：把图 $G$ 分为两个集合 $S$ 和 $T$ 的割中的所有边的流量之和记为 $C (S, T)$ ，即 $C(S,T)=\sum\limits_{u\in S,v\in T,(u,v)\in E} C(u,v)$
流量：类似于容量，用 $F (u, v)$ 表示一条边的流量， $F (S, T)$ 表示一个割的流量
增广路：一条路径，满足前向弧的流量严格小于容量，后向弧的流量大于 $0$
可行流：从源点出发，到汇点结束，所有边的流量未超过容量且除源点和汇点外，流入任意一点的流量等于流出这一点的流量（如果你学过高中物理中的电学，你可以把这个理解为基尔霍夫第一定律）
最大流：可行流中流量最大的流
最小割：把源点和汇点分成两个集合，容量最小的割
残余网络：对于任意的流 $f$ ，建立新图 $G_f$ 满足连边方式相同，边的容量等于原边的容量减去流量（当然，如果新的边的容量为 $0$ ，去掉这条边也无所谓）

性质&定理证明

性质1

可行流的流量等于它的一个割的流量
证明：假设割将源点（ $V_S$ ）和汇点（ $V_T$ ）分为两个集合 $S$ 和 $T$ ，可行流流量为 $F$
$\therefore$ 当 $T=\{V_T\}$ 时， $F(S,T)=\sum\limits_{(x,V_T)\in E} F(x,V_T)=F$
$\therefore$ 假设当 $T\subsetneq T'$ 时成立
$\therefore$ 当 $T = T^{'}$ 时，设 $V_P\in T$
$\therefore~F(S,T)=F(S\cup\{V_P\},T\setminus {V_P})-\sum\limits_{(V_P,x)\in E,x\in T} F(V_P,x)+\sum\limits_{(V_P,x)\in E,x\in S} F(V_P,x)=F(S\cup\{V_P\},T\setminus {V_P})=F$

推论1

可行流的流量小于等于它的一个割的容量
证明：由性质1知，可行流的流量等于它的一个割的流量，小于等于这个割的容量

性质2

若残余网络中仍有增广路，那么可行流 $F$ 不是最大流
证明： $\because$ 增广路的前向弧可以增加流量，后向弧可以减少流量
$\therefore F$ 可以继续增大
$\therefore$ 可行流 $F$ 不是最大流

性质3

若残余网络中无增广路，则存在一个割，使得割的容量等于可行流的流量
证明： $\because$ 残余网络中无增广路
$\therefore$ 原图中的每一条从源点到汇点的路径，都一定有一个前向弧的流量为容量或有一个后向弧的流量为 $0$
$\therefore$ 设集合 $S$ 为从源点出发，不经过流量为容量的前向弧和流量为 $0$ 的后向弧所能到达的所有点的集合， $T=V\setminus S$
$\therefore$ $F=F(S,T)=\sum\limits_{u\in S,v\in T,(u,v)\in E} F(u,v)=$ 前向弧总流量-后向弧总流量 $=$ 前向弧总容量 $- 0 =$ 前向弧总容量 $= C (S, T)$

性质4

对于一个可行流，若存在一个它的割，使得割的容量等于可行流的流量，则这个可行流为最大流，且这个割为最小割
证明：设可行流的流量为 $F$ ，割的容量为 $C$
假设 $C$ 不是最小割的容量
$\therefore$ 存在一个割的流量为 $C_0$ ，且 $C_0<C$
又 $\because F\leqslant C_0$
$\therefore C\leqslant C_0$ ，矛盾！
$\therefore$ 这个割为最小割
$\therefore F$ 到达了流量的上界
$\therefore$ 这个可行流的最大流

特别注意，这个性质并不代表最大流等于最小割（虽然这是对的），因为我们并没有说明这样的割一定存在

最大流最小割定理

最大流（的流量）等于最小割（的容量）
证明：取图 $G$ 的最大流 $F$
$\therefore$ 根据性质2的逆否命题可知：残余网络中无增广路
$\therefore$ 根据性质3可知：存在一个割，使得割的容量等于最大流的流量
$\therefore$ 根据性质4可知：这个割为最小割
$\therefore$ 最大流等于最小割