组合数的常见计算方法

jacky0705

于 2020-09-19 21:29:21 发布

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分类专栏： OI知识点讲解

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这篇博客介绍了计算组合数的两种方法，包括低级版的递推方式，其时间复杂度为O(n^2)，以及高级版利用Lucas定理和exLucas定理在p为质数情况下的高效计算。还提到了当p不是质数时，可以使用分段打表的方法。

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组合数的常见计算方法

低级版
高级版
其他

低级版

方法概述

直接用组合数性质中的③式递推即可

程序实现

int mod,c[2010][2010];
int C(int n)
{
   
    for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;
    c[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}

时间复杂度

$\Theta (n^2)$

高级版

方法概述

这一种求组合数的方法用到了一个著名的定理——Lucas定理！
我们先来了解一下这个神奇的定理

Lucas定理

设 $p$ 为质数， $\binom{n}{m}\equiv\binom{n/p}{m/p}\binom{n\%p}{m\%p}\pmod{p}$

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