背包问题一般的套路模板

最新推荐文章于 2025-06-04 22:19:50 发布
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分类专栏： 动态规划 背包问题 文章标签： leetcode
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常见的背包问题有1、组合问题。2、True、False问题。3、最大最小问题。

1、组合问题：
377. 组合总和 Ⅳ
494. 目标和
518. 零钱兑换 II
2、True、False问题：
139. 单词拆分
416. 分割等和子集
3、最大最小问题：
474. 一和零
322. 零钱兑换

1. 组合问题公式

dp[i] += dp[i-num]

2. True、False问题公式

dp[i] = dp[i] or dp[i-num]

3. 最大最小问题公式

dp[i] = min(dp[i], dp[i-num]+1)或者
dp[i] = max(dp[i], dp[i-num]+1)

以上三组公式是解决对应问题的核心公式。
当然拿到问题后，需要做到以下几个步骤：

1.分析是否为背包问题。
2.是以上三种背包问题中的哪一种。
3.是0-1背包问题还是完全背包问题。也就是题目给的nums数组中的元素是否可以重复使用。
4.求组合数 还是 排列数

  • 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。如 518. 零钱兑换 II
  • 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。如 377. 组合总和 Ⅳ

主要的模板转载自 这位大佬，为了方便以后查看，我把部分截图过来

01背包

二维写法
在这里插入图片描述
一维写法

在这里插入图片描述
01背包一维写法中 内部循环必须倒序的原因

因为二维压缩到一维的根本原理是，dp[j] 和 dp[j-nums[i-1]] 还没被新结果覆盖的时候，相当于二维 dp 中的 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j-nums[i-1]]。

那么，我们就要做到：在计算新的 dp[j] 的时候，dp[j] 和 dp[j-nums[i-1]] 还是上一轮外层 for 循环的结果。

如果你从前往后遍历一维 dp 数组，dp[j] 显然是没问题的，但是 dp[j-nums[i-1]] 已经不是上一轮外层 for 循环的结果了，这里就会使用错误的状态，当然得不到正确的答案。

完全背包

二维写法

在这里插入图片描述
一维写法
在这里插入图片描述完全背包一维写法中 内部循环必须正序的原因

这样可以使得一个物品可以取多次，符合完全背包要求。

完全背包 练习题

LeetCode - 1449. 数位成本和为目标值的最大数字

背包问题详解
qq_39158217的博客
09-01 490
背包问题详解 （java) 拿着一个容量为C（重量）的背包，去杂货店买东西，第i件物品的价值是v[i],重量是w[i]。问在不超过背包容量C的情况下，最多能买多少钱的东西. 背包问题可以大致分为： 0-1背包问题: 商店里的每个物品能且仅能购买一次. 多重背包问题： 商店里的每样东西都可以购买N次。 无限背包问题: 商店里的每样东西都可以无限次的购买 其实，只要把0-1背包问题的思想掌握，其他两种背包问题也能通过类似的思路去解决。本篇会详细的介绍0-1背包问题，并给出用递归，二维数组，一维数组。实现
背包问题之有依赖的背包（包含模板）
MaplePlane的博客
08-26 986
有依赖的背包最好理解的题就是NOIP的金明的预算方案，其每个物品有主件和附件，附件必须在主件已经购买了的请款下才能购买，这里牵扯到有依赖的背包的一个问题，将这些进行分组之后就有多种情况即：不能购买主件，只能购买主件，能购买主件和多个附件，这些情况组成了多个可能的情况， 所以这种情况可以先将一个组当中的附件进行一次01背包得到其背包容量为0~V-w[i]时的所有可能情况，然后将整个组当成一个分组背包...
（详解）背包问题中的套路
码农-Vax天道的时间宝藏
06-05 360
一、概述 背包问题是一类比较特殊的动态规划问题，这篇文章的侧重点会在答案的推导过程上，我们还是会使用之前提到的解动态规划问题的四个步骤来思考这类问题。 在讲述背包问题之前，首先提及一下，背包类动态规划问题和其他的动态规划问题的不同之处在于，背包类动态规划问题会选用值来作为动态规划的状态，你可以回顾下之前我们讨论过的动态规划问题，基本上都是利用数组或者是字符串的下标来表示动态规划的状态。 针对背包类问题，我们依然可以画表格来辅助我们思考问题，但是背包类问题有基本的雏形，题目特征特别明显，当你理解...
leetcode——背包问题汇总
Michael_Jay的博客
12-24 3671
本篇文章汇总了leetcode常见的0-1背包问题和完全背包问题。
背包问题细节探析
NeverGiveUp
06-08 4192
引言：上一周在看《背包九讲》，这周也在练习背包型动态规划的题目，在这里分享几点学习过程中的体会，涉及到空间优化：二维转一维的理解以及循环顺序的理解，最后会析背包问题的一些变种问题。为了叙述方便，这篇博客仅仅谈及01背白问题和完全背包问题，其余读者感兴趣可以自己查阅《背包九讲》01背包01背包问题是所有背包问题的基础，先来看裸的01背包问题： 题目：有N件物品和一个容量为V 的背包。第i件物品的费用
背包问题套路模板
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07-01 193
dp[i][j] – 容量为j的背包，在前i个物品中装，最多能装多少价值。N – 物品数目， W – 物品重量 V – 物品价值。
DP：01背包问题
weixin_51142926的博客
06-17 3781
背包问题是⼀种组合优化的NP完全问题。 本质上是为了找出“带有限制条件的组合最优解”
混合背包问题 → 不是什么难题
hnjzsyjyj的专栏
08-11 420
混合背包问题并不是什么难题，它只是0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等的组合而已。 也就是说，在混合背包问题中，有些物品只能取一次（0-1背包），有些物品可以取无限次（完全背包），有些物品可以取有限次（多重背包）。 只要深刻理解了0-1背包、完全背包、多重背包等基本背包问题的核心思想，就可以将混合背包问题拆分成若干基本的背包问题来解决。...............
动态规划2-背包问题
zhuo123110的博客
06-21 406
背包问题
动态规划——背包问题
m0_74389379的博客
06-04 1588
动态规划 背包问题
【算法设计与分析】动态规划 - 背包问题详解（基础背包）
GentleCP的博客
11-07 2275
文章目录前言0-1背包问题描述问题解析 前言 最近又把背包系列问题温习了一遍，打算写篇文章将常见的几类背包问题进行总结，提取背包问题核心套路，在自己理解的同时，用通俗的语言解释，让看完本文的人能够快速上手解决一系列的背包问题。 内容包含如下： 从基础开始：0-1背包问题 再进一步：完全背包 顺手拈来：多重背包 变形金刚：其他背包问题 限于篇幅问题，拟将该系列拆成两篇，第一篇包含上面三个部分，实际上是对三种基础类型有一定掌握，第二篇，主要讲解基于三种类型衍生而来的背包问题和实际（面试）经常遇到的。
蓝桥杯练习题目--01背包问题
CppYyds的博客
05-09 785
文章目录题目：题目分析：解题代码： 题目： 题目分析： 读完题目，发现是完全没改任何变式的01背包问题。 比如题中有草药价值和采草药所需的时间。以及整个过程中采草药所限制的总时长。 转化为背包问题解读就是，有物体重量以及物体价值两个属性。还有背包最大的限制载重。 接下来就是01背包问题的模板套路了： 将背包重量分解成1~M各个重量的背包，以便后续进行dp(用于保存各个重量情况的dp从而方便得出关系，比如当我们装进一个重w[i]的物体后，还有空余的空间就简单的可以用dp[i][m] = dp[i][
dp——背包模板乱锅炖
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1.经典背包模板 01背包 完全背包 多重背包 混合背包 分组背包
栈-20.有效的括号-力扣(LeetCode)
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反思：善于从题目中提取信息后转化为数学问题（而这道题的思路并不是让我直接全部取出来比较，而是考虑一个问题：以某个位置i为起点可以截取的的字符串，其长度越大，字典序也就越大，所以仅需将从某个位置开始的可以取的最大长度取出来比较即可），确实是最大长度，但是从第i个位置开始的最大长度，那么我还应该加上i,所以代码中是。:当前长度到字符串末尾还剩的长度，有可能不足可以取的最大长度。总结：在这里我犯了一个错误，关于最大长度。
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weixin_44435110的博客
06-03 404
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本文详细解析了如何解决包含重复数字的全排列问题，确保生成的所有排列不重复。核心解法采用回溯算法，结合双重去重机制：通过排序预处理和HashSet实现同层去重，避免重复选择相同元素；利用used数组确保每个排列中元素不重复使用。文章通过代码实现、流程模拟和数学证明，展示了双重去重的协同工作原理，并分析了算法复杂度。最后指出常见误区，建议优化方案，强调排序预处理和正确使用HashSet的关键作用。该解法高效解决了排列生成中的重复问题，时间复杂度为O(n×n!)，空间复杂度为O(n)。
704. 二分查找 （力扣）
woyvxuetongzai52的博客
06-03 202
摘要：本文实现了一个二分查找算法，用于在有序整型数组中查找目标值。算法通过维护左右指针逐步缩小搜索范围，时间复杂度为O(log n)。当目标值存在时返回其下标，否则返回-1。示例展示了查找成功（target=9返回4）和失败（target=2返回-1）的情况。代码采用左闭右开区间写法，避免整数溢出问题，适用于元素唯一且数组长度在1到10000之间的场景。
leetcode经典100题套路公式
05-26
### LeetCode Top 100 题目模式与解决方法 LeetCode 的 Top 100 经典题目涵盖了多种算法和数据结构的核心概念。以下是这些题目中的常见模式以及对应的解决方案。 #### 数据结构分类 1. **数组** 数组类问题是基础，通常涉及双指针、滑动窗口等技巧。 - 双指针用于处理有序数组或寻找特定条件下的两个数[^1]。 ```python def two_sum(nums, target): left, right = 0, len(nums) - 1 while left < right: current_sum = nums[left] + nums[right] if current_sum == target: return [left, right] elif current_sum < target: left += 1 else: right -= 1 return [] ``` 2. **链表** 链表操作常涉及到反转、删除节点等问题。 - 使用虚拟头结点简化边界情况的处理[^2]。 ```python class ListNode: def __init__(self, val=0, next=None): self.val = val self.next = next def reverse_list(head): prev = None curr = head while curr is not None: temp = curr.next curr.next = prev prev = curr curr = temp return prev ``` 3. **栈与队列** 这些数据结构适用于括号匹配、BFS 和 DFS 等场景。 - BFS 常见于图遍历或者最短路径问题[^3]。 ```python from collections import deque def bfs(graph, start_node): visited = set() queue = deque([start_node]) while queue: node = queue.popleft() if node not in visited: visited.add(node) for neighbor in graph[node]: if neighbor not in visited: queue.append(neighbor) return list(visited) ``` 4. **树** 树形结构主要考察二叉搜索树 (BST) 特性和递归实现。 - 中序遍历可以验证 BST 是否合法[^4]。 ```python def is_valid_bst(root): stack, inorder = [], float('-inf') while stack or root: while root: stack.append(root) root = root.left root = stack.pop() if root.val <= inorder: return False inorder = root.val root = root.right return True ``` 5. **动态规划** 动态规划通过子问题分解来优化复杂度。 - 背包问题是一个典型的例子[^5]。 ```python def knapsack(weights, values, capacity): dp = [[0]*(capacity+1) for _ in range(len(values)+1)] for i in range(1, len(values)+1): for w in range(capacity+1): if weights[i-1] <= w: dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weights[i-1]] + values[i-1]) else: dp[i][w] = dp[i-1][w] return dp[-1][-1] ``` 6. **回溯法** 回溯法适合组合、排列等相关问题。 - N皇后问题展示了如何利用剪枝减少不必要的计算[^6]。 ```python def solve_n_queens(n): result = [] cols = set(); diag1 = set(); diag2 = set() def backtrack(row, path): if row == n: result.append(path[:]) return for col in range(n): d1 = row - col; d2 = row + col if col in cols or d1 in diag1 or d2 in diag2: continue cols.add(col); diag1.add(d1); diag2.add(d2) path.append('.'*col + 'Q' + '.'*(n-col-1)) backtrack(row+1, path) cols.remove(col); diag1.remove(d1); diag2.remove(d2) path.pop() backtrack(0, []) return result ``` 7. **贪心算法** 贪心策略在某些情况下能够快速找到全局最优解。 - 区间调度是最常见的应用之一[^7]。 ```python def interval_scheduling(intervals): intervals.sort(key=lambda x: x[1]) # Sort by end time. count = 0; last_end_time = float('-inf') for start, end in intervals: if start >= last_end_time: count += 1 last_end_time = end return count ``` 8. **位运算** 位运算是高效解决问题的一种方式。 - 找到只出现一次的数字可以通过异或完成[^8]。 ```python def single_number(nums): res = 0 for num in nums: res ^= num return res ``` 9. **字符串** 字符串处理经常需要用到 KMP 或者 Manacher 算法。 - 判断回文串可以用中心扩展法[^9]。 ```python def longest_palindrome(s): if not s: return "" def expand_around_center(left, right): while left >= 0 and right < len(s) and s[left]==s[right]: left -= 1; right += 1 return s[left+1:right] longest = "" for i in range(len(s)): odd = expand_around_center(i,i) even = expand_around_center(i,i+1) longer = odd if len(odd)>len(even) else even if len(longer) > len(longest): longest = longer return longest ``` #### 总结 以上列举了一些经典的 LeetCode 解决方案及其背后的理论依据。每种类型的题目都有其独特的求解思路，掌握这些通用模板有助于提高刷题效率并加深理解。
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