【完全背包】LeetCode - 322. 零钱兑换

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解法1：动态规划

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数

2. 确定递推公式

得到dp[j]（考虑coins[i]）只有一个来源，即 dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]）。

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0; 而下标非0的元素初始化都是应该是一个大值。

4. 确定遍历顺序

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。如 518.零钱兑换II
• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。如377. 组合总和 Ⅳ

组合 vs 排列

5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。但是是两种排列。组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数，并不强调集合是组合还是排列，所以谁在内谁在外都可。

5. 举例推导dp数组
略

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        int n = coins.size();
        //dp[i] 表示组成金额 i 所需的最少硬币数量
        vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= amount; i++)//遍历背包
        {
            for(int j = 0; j < n; j++)//遍历物品（coins[j]）
            {
                if(coins[j] <= i)//背包要装得下物品才行
                 dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
            }
        }
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
};

解法2：贪心 + DFS

解法来自 这位大佬，核心思路截图如下

class Solution {
public:
    void DFS(vector<int>& coins, int amount, int index, int cnt, int& ans)
    {
        if(amount == 0)
        {
            ans = min(ans, cnt);
            return;
        }
        if(index == coins.size())//遍历到最后了
         return;
        for(int k = amount / coins[index]; k >= 0 && k + cnt < ans; k--)
         DFS(coins, amount - k * coins[index], index + 1, cnt + k, ans);
    }
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        if(amount == 0) return 0;
        sort(coins.rbegin(), coins.rend());//从大到小排序可以直接用反向迭代器
        int ans = amount + 1;
        DFS(coins, amount, 0, 0, ans);
        //amount = amount 表示当前剩余金额，index = 0 表示当前在 coins[index], cnt = 0 表示当前硬币数量为 0
        return ans == amount + 1 ? -1 : ans;
    }
};