盛最多水的容器

这个问题是一个经典的算法问题，通常称为“盛最多水的容器”。目标是找到两个边界线（高度数组中的元素），使得它们与x轴共同构成的容器能够容纳最多的水。以下是该问题的详细思路和代码讲解。

思路

1. 输入: 给定一个非负整数数组 height，其中每个元素表示纵坐标上的高度。图形的两条边分别由数组中的元素代表。

2. 计算容器容量:

   • 容器的容量由两条边及其间的距离决定。具体而言，如果选择了 height[i] 和 height[j] 作为边界，容器的容量（即能够容纳的水量）为：
     [
     \text{容量} = \text{min}(height[i], height[j]) \times (j - i)
     ]
   • 在这个公式中，min(height[i], height[j]) 确定了水的高度，而 (j - i) 是这两个边之间的水平距离。

3. 双指针方法:

   • 使用两个指针：一个指向数组的开始（left），一个指向数组的末尾（right）。
   • 计算当前的容量并更新最大容量。
   • 移动较短的边界指针（即height[left]或height[right]），因为移动更高的边不会增加水容量，而可能会减少水平距离。

4. 终止条件: 两个指针相遇，即完成了所有可能的边界组合。

代码实现

以下是上述思路的 Python 代码实现：

def max_area(height):
    left = 0  # 左指针
    right = len(height) - 1  # 右指针
    max_volume = 0  # 初始化最大容量

    while left < right:
        # 计算当前容量
        current_volume = min(height[left], height[right]) * (right - left)
        # 更新最大容量
        max_volume = max(max_volume, current_volume)

        # 移动指针
        if height[left] < height[right]:  # 移动较短的一边
            left += 1
        else:
            right -= 1

    return max_volume  # 返回最大容量

# 示例
heights1 = [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
print(max_area(heights1))  # 输出: 49

heights2 = [1, 1]
print(max_area(heights2))  # 输出: 1

代码解释

1. 函数定义: max_area(height)，接受一个数组 height。

2. 初始化指针和变量:

   • left 和 right 分别指向数组的开始和末尾。
   • max_volume 用于记录当前找到的最大容量。

3. 循环条件: 当 left 小于 right 时执行循环。

4. 计算当前容量:

   • 使用 min(height[left], height[right]) 计算当前容器的有效高度。
   • 计算宽度为 right - left，并更新 max_volume。

5. 移动指针:

   • 根据当前边的高度，移动较短的边指针，以尝试找到更大的容量。

6. 返回最大面积: 循环结束后，返回找到的最大水容量。

示例运行

1. 输入 [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]:

   • 结果为 49，这是高度 8 和 7 之间的面积（宽 7，高度 7）。

2. 输入 [1, 1]:

   • 结果为 1，因为两条边都是 1，且距离为 1。

总结

通过使用双指针的方法，算法的时间复杂度为 O(n)，只需一次遍历即可找到最大容器容量。这种方法有效地减少了计算所需的时间，同时避免了过多的组合计算。