LeetCode 11. 盛最多水的容器

题目描述

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分析：

木桶原则是说一个水桶无论有多高，它盛水的高度取决于其中最低的那块木板。也称短板原则。

另外看下面这张图，你就能知道为什么题目中说： 你不能倾斜容器。

本题使用双指针的做法， 指针移动过程中会天然地造成木桶的“底”不断变小。

证明

那么如何证明不会遗漏掉最优解呢？假设最优解的两个值为图中的两条竖线，我们的指针从左右两侧向中间移动，假设现在左边的指针先移动到了最优解的前面的竖线，

现在要证明：如果左边指针先到达最优解的边界了的话，右边每次指向竖线的高度都严格小于左边指向的竖线。右边一定会一直往左移，移到最优解的右边界。
反证法：反证右边当前指向竖线的高度大于等于左边竖线，此时灌水的矩形如下所示，并且假设最优解右边界尽可能地长，那么会发现之前假设的最优解矛盾：

由此得到的结论是，假设左边先找到了最优解，那么右边的高度必然是严格小于左边界的。那么右边指针就可以一直向左移动。
整个题目可以理解为：最好要早相遇，否则在晚相遇的基础上，每次都要找最好的。

LeetCode题解

左右两个指针，在每个状态下无论哪个指针（短板或长板）向内移动，都会导致容器底部宽度减1：

• 若向内移动短板，容器的短板$min(h[i],h[j])$变短、不变、变长。（1）变短：短板短+底板短1=一定短（2）不变：短板不变+底板短1=一定短（3）变长：短板长+底板短1=变长
• 若向内移动长板，容器的短板$min(h[i],h[j])$变短、不变、变长。（1）变短：长板短+底板短1=一定短（2）不变：长板不变+短板短1=一定短（3）变长：长板长+短板不变+底板短1=一定短
  因此，初始化双指针在容器两端，循环每轮向内移动一格，并更新最大面积，直到两指针相遇时跳出；即可获得最大面积。

正确性证明：

双层暴力枚举，容器两端与$x$轴构成的面积$S(i,j)$的所有情况的数量为：$C(n,$