5G全流程详解4：LDPC码---编码

编码过程

       LDPC码是Gallager在1963年提出的一种线性分组码，其编码过程为：一个长度为的二元信息比特序列，经过线性编码，得到m个校验比特，生成长度为n的编码比特序列。码字可以用生成矩阵乘来表示：

      

      在这里可以分成单位矩阵和m个校验比特生成子矩阵：

      

      校验矩阵（parity check matrix, PCM）和码字满足

      

      一般是一个稀疏阵

      大家可以思考一下和的关系，很明显他们要满足对于任意的

      

     那么必然有

      

      那么我们可以得到

      

5G LDPC

校验矩阵

       查找下表中令成立的，最小的值，记作。

        其中当BG1时，；当BG2时，根据不同的（code block segmentation的输入数据长度）。近似等于CB长度。

       5G中的LDPC码采用的是QC-LDPC（quasi-cyclic）码。这种码字在802.11协议中也有广泛应用。QC-LDPC码通过大小为的基础矩阵，扩展因子（也称提升值）和大小为的置换矩阵P来定义。

       在基础矩阵里，每个元素可以表示为，如下式所示：

       的值可以取0与1，当时，是一个零矩阵；当时，可以表示为，是一个向右循环的单位阵，。根据BG1/2、、、在下表中选取，不在表中的的都为0。

      将替换成

     在5G协议中中，有两种，一种是base graph 1，，结合式(1)可以得到，那么，最低码率为。另一种是base graph 2，最低码率为。

校验矩阵示例

        现在举一个的例子，当BG2，，时，如下图所示。下图与3GPP协议有稍许不同，里面用-1表示0矩阵，0表示单位阵，正整数表示右移矩阵。

              

    

        那么令接收码字为，那么有

        乘以这个矩阵相当于对做什么处理呢？我们可以计算一下

        可以看到相当于对做了一个向上循环移位2，利用这个性质可以将矩阵乘法简化为循环移位，后面我们可以在matlab代码里看到相关运用。

        的逆矩阵也很好求，就是

        这也比较好理解，相当于对做了一个向上循环移位2，同理相当于对做了一个向上循环移位1，那么相当于对做了一个向上循环移位3，相当于没有移位。

生成矩阵

所以

可以得到

‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’(1)

对于矩阵B可以通过查表得到，i=0，j=22/23

当base graph 1，当，则

当，则

对于base graph 2，当，则

当，则

当base graph 1，当时，由式(1)得

‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘（2）

令

对于，那么可以得到

为了书写方便，令：

我们可以通过直接计算可以得到四种情况下的H为（下式中应该是个笔误，需要改成，需要改成）

我们也可以通过行变换来总结出统一的规律，式(2)可以变为

........................................(3)

为矩阵B中元素，为对应的ZxZ的置换矩阵，也可以记为。

先求，为运用行变化，将B矩阵四行相加，我们可以发现第2、3、4列都可以抵消，对于BG1，保留下来；对于BG2，保留下来。所以我们可以得到，

当，   ，

当，   ，

然后求，观察式3中B矩阵的第一行可以发现和都为-1，那么可以得到

然后求，观察式3中B矩阵的第二行可以发现都为-1，可以得到

然后求，观察式3中B矩阵的第三行可以发现都为0，可以得到

又因为

所以

可以把计算出来

Matlab代码

function cword = nrldpc_encode(B,z,msg)
%B: base matrix
%z: expansion factor
%msg: message vector, length = (#cols(B)-#rows(B))*z
%cword: codeword vector, length = #cols(B)*z

[m,n] = size(B);

cword = zeros(1,n*z);
cword(1:(n-m)*z) = msg;

%double-diagonal encoding
temp = zeros(1,z);
for i = 1:4 %row 1 to 4
    for j = 1:n-m %message columns
        temp = mod(temp + mul_sh(msg((j-1)*z+1:j*z),B(i,j)),2);
    end
end
if B(2,n-m+1) == -1
    p1_sh = B(3,n-m+1);
else
    p1_sh = B(2,n-m+1);
end
cword((n-m)*z+1:(n-m+1)*z) = mul_sh(temp,z-p1_sh); %p1
%Find p2, p3, p4
for i = 1:3
    temp = zeros(1,z);
    for j = 1:n-m+i
        temp = mod(temp + mul_sh(cword((j-1)*z+1:j*z),B(i,j)),2);
    end
    cword((n-m+i)*z+1:(n-m+i+1)*z) = temp;
end
%Remaining parities
for i = 5:m
    temp = zeros(1,z);
    for j = 1:n-m+4
        temp = mod(temp + mul_sh(cword((j-1)*z+1:j*z),B(i,j)),2);        
    end
    cword((n-m+i-1)*z+1:(n-m+i)*z) = temp;    
end

function y = mul_sh(x,k)
%x: input block
%k: -1 or shift
%y: output

if (k==-1)
    y = zeros(1,length(x));
else
    y = [x(k+1:end) x(1:k)]; %multiplication by shifted identity
end

Tanner图

           校验矩阵还可以用tannel图来表示，如下图的

      我们就可以表示为下面的tannel图：

       该图中深黑色为一个长为4的环，围长和消息传递的独立性密切相关，围长越长，迭代速度越快，译码正确率也越高，所以我们要尽量不设计出4环和6环。