最长上升子序列(dp经典）

最新推荐文章于 2025-06-17 16:18:28 发布

cherish__lin

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分类专栏： DP

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本文介绍了一个经典的编程问题——求解最长上升子序列的长度。通过动态规划和二分优化两种方法，详细阐述了如何从给定序列中找到最长的完全递增子序列。并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem Description

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1<= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

Input

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

Output

最长上升子序列的长度。

Sample Input

7
1 7 3 5 9 4 8

Sample Output

Hint

Source

Northeastern Europe 2002

经典解法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1010];
int a[1010];
int ans;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        }
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

二分优化版本：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int dp[1010];
int a[1010];
int ans;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    fill(dp+1,dp+1+n,INF);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=lower_bound(dp+1,dp+1+n,a[i])-dp;//lower_bound返回第一个大于等于a[i]的地址，减去首地址即可
        dp[x]=a[i];
        //*lower_bound(dp+1,dp+1+n,a[i])=a[i];//也可以用这句短小精悍的话，通过*运算符解地址，并在其地址上放入a[i]
    }
    cout<<lower_bound(dp+1,dp+1+n,INF)-dp-1<<endl;//lower_bound返回第一个大于等于INF的地址，则减去首地址即为答案
    return 0;
}