背包三问

背包问题

背包问题是一类NP完全问题，属于1D/1D动态规划，现总结如下：

一、01背包问题

01背包问题：现有n件物品，第i件物品的价值为v[i]，体积为w[i]，现有一个能装得下p体积的背包，求该背包所能携带的最大价值。

​ 看到这个问题，我们可以先举个栗子：（图是盗的）

​ 可以发现我们可以建立一个二维表来模拟这个过程。很容易想到的是，如果存在一个背包的容量是p’，另外存在一个物品的重量是w[i]，且存在这么一个关系：，那么我们将可以对这个结果进行贪心处理，容易得到下面这个式子：

​ 那么我们再将这个公式推广到从1到p（f[0]=0），就可以得到最优解。推广后的公式（状态转移方程）如下：

​ 注意：在将f数组填表时需要从后往前填，避免将同一件物品重复累加。

​ 时间复杂度：

​ 以上内容已经加了滚动数组优化不再多说（逃

二、完全背包问题

​ 完全背包问题：现有n种物品，第i种物品的价值为v[i]，体积为w[i]，*每种物品可以选用无限多个*。现有一个能装得下p体积的背包，求该背包所能携带的最大价值。

​ 可以看出完全背包与01背包的区别就在于完全背包每种物品可以选无穷多个。又因为完全背包的容量是有限的，所以我们可以把每一件物品拆分成（n/p）下取整件，那么这个完全背包问题就会被弱化成01背包来解答。但该算法效率低下，时间复杂度只有可怜的,算是一种低能算法了。

​ 那么我们该如何优化呢？背包九讲里有各种玄学优化，这里指阐明最高效的。

​ 前面的注意点写过，在01背包问题中要逆向填写f数组，从而避免重复计算同一件物品。但在完全背包中，我们需要的是什么？正是重复计算同一个物品啊。所以在这里我们只要将f数组顺向填写，就可以完美解决该问题。

​ 时间复杂度与01背包一样

​ 完全背包的状态转移方程其实和01背包一模一样。

三、多重背包问题

​ 多重背包问题：现有n种物品，第i种物品的价值为v[i]，体积为w[i]，*每种物品可以选用m[i]个*。现有一个能装得下p体积的背包，求该背包所能携带的最大价值。

​ 此类问题限定了每种物品的个数，所以我们可以将其转换为完全背包或01背包解答。朴素算法非常好思考。

​ ①：改一下完全背包的状态转移方程：

​ ②：将这个问题转化为01背包，即将m[i]个物品分开讨论。

​ 上述两种方法时间复杂度都是效率太低，需要优化。

​ 对于第②种方法，我们可以进行优化。我们可以将m[i]个物品拆成1, 2，2²,……，2^(k-1),m[i]-2^k+1这么多项，即表达成二进制形式，那么我们的复杂度就可以有质的变化，成为

​

​ 以上即是我对三种背包问题的理解，今后会继续更新。