三种背包问题

背包问题每种物品都有一个价值w、体积c与数量i，你现在有一个背包容积为V, 你想用一些物品装背包使得物品总价值最大.

1. 0-1背包问题

• 我们有n种物品，物品i的重量为weight[i]，价格为value[i]。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
• 背包所能承受的最大重量为v。如果限定每种物品只能选择0个或1个，求背包里面能放的最大价格。

static int ZeroOnePackge(vector<int> &weight, vector<int> &value, vector<int> &f, int n, int v)
{
	for (int i = 1; i <= n; i++) //每件物品遍历
		for (int j = v; j >= weight[i]; j--)  //从背包的最大重量到当前物品的重量逆序查找（这样后面的f[i]不会被前面的f[i-1]之类的干扰，新更新的状态也不会影响其他）
			f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);  //后面的式子表示，装上第i件物品前背包内物品的价值+第i件物品的价值
	return f[v];  //返回的为最大容量时的数值
}

2. 完全背包问题

• 有n种物品和一个容量为v的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体重量是weight[i]，价值是value[i]。
• 将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

static int ZeroMorePackge(vector<int> &weight, vector<int> &value, vector<int> &f, int n, int v)
{
	for (int i = 1; i <= n; i++) //每件物品遍历
		for (int j = weight[i]; j <= v; j++)  //从背包的当前物品到最大重量的重量顺序查找（顺序查找的原因在于考虑之前物品的贡献）
			f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);  //后面的式子表示，装上第i件物品前背包内物品的价值+第i件物品的价值
	return f[v];  //返回的为最大容量时的数值
}

3. 多重背包问题

• 有n种物品和一个容量为v的背包。第i种物品最多有eachNum[i]件可用，每件体积是weight[i]，价值是value[i]。
• 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量v，且价值总和最大。

static int MorePackge(vector<int> &weight, vector<int> &value, vector<int> &f, vector<int> &eachNum, int n, int v)
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int k = 1; k <= eachNum[i]; k++)
			for (int j = v; j >= weight[i]; j--)  //从背包的最大重量到当前物品的重量逆序查找（可通过画图理解）
				f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);  //后面的式子表示，装上第i件物品前背包内物品的价值+第i件物品的价值
	return f[v];  //返回的为最大容量时的数值
}