897. 最长公共子序列（DP）

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题目

给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。

输入格式

第一行包含两个整数N和M。

第二行包含一个长度为N的字符串，表示字符串A。

第三行包含一个长度为M的字符串，表示字符串B。

字符串均由小写字母构成。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

$1\le N\le 1000$

输入输出样例

样例输入

4 5
acbd
abedc

样例输出

3

思路

DP。给出A和B的公共子序列，求最长公共子序列的长度是多少。公共子序列不一定连续。例如，第一个字符串是acbd，第二个字符串是abedc，则他们的最大公共子序列为“abd”，所以最大公共子序列长度为3 。
闫氏DP分析法。
状态表示：
集合：所有A[1 ~ i]与B[1 ~ j]的公共子序列的集合
属性：MAX(长度最大值)
状态计算： 划分子集，找最后一个不同点，即A的最后一个字符A[i]是否包含在该公共子序列中，以及B的最后一个字符B[j]是否包含在该公共子序列中。由此我们可知，A[i]、B[j]都分别有两种选择，我们可以用“0”来表示不包含，“1”来表示包含，我们用“00”表示都不包含，“01”表示只包含B[j]，用“10”表示只包含A[i]，用“11”表示A[i]、B[j]都包含。
① 我们考虑“11”这种情况，由于A[i]和B[j]都分别是A、B的最后一个字符，若要同时包含A[i]和B[j]，必须满足A[i]和B[j]相等，否则不存在。若A[i]和B[j]相等的情况存在，则这个集合的每一个公共子序列在A中一定是A[x], A[x], …… , A[i]；在B中一定是B[x], B[x], …… , B[j]。我们可以将这两个公共子序列分为两部分，一部分是未知的前i个A中的公共子序列部分和前j个B中的公共子序列部分，另一部分是固定不变的A[i]和B[j]，所以它的长度最大值为f[i - 1, j - 1] + 1。
② 我们考虑“00”这种情况，由于A[1 ~ i], B[1 ~ j]的最长公共子序列中A[i]和B[j]存在，即A[1 ~ i - 1], B[1 ~ j - 1]的最长公共子序列，所以它的长度最大值为f[i - 1, j - 1]。
③ 我们考虑“01”这种情况（不包含A[i]，含有B[j]），因为f[i - 1, j]表示A[1 ~ i - 1]与B[1 ~ j]中选的所有公共子序列，所以A[i]是一定不包含的，但是不一定包含B[j]。所以f[i - 1, j]分子序列中B[j]存在和B[j]不存在两种情况，因为是求最大值所以有重复部分也不妨碍最终的结果，所以它的长度最大值为f[i - 1, j]。“10”情况同理，它的长度最大值为f[i, j - 1]。
另外，我们可以看出f[i - 1, j - 1]这种方案是包含于f[i - 1, j]中的，所以直接考虑后三种方案即可。
注意，求数量时要保证不重不漏，求最大值的时候重复是无所谓的。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
int main() {
    cin >> n >> m >> a + 1 >> b + 1;//让a，b从下标1开始输入
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if(a[i] == b[j])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}