LA 3026 / HDU 1358 Period (kmp，证明的应该挺详细)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1358

参考资料：算法竞赛入门经典 训练指南，刘汝佳 陈锋 著

解题思路：

构造串的kmp数组，next[i]表示0~i-1子串前缀和后缀集合最大相同长度。

例子：abbabb（编号0~5）

前缀集合：a，ab，abb，abba，abbab

后缀集合：b，bb，abb，babb，bbabb

最长为abb，所以next[6] = 3

那么这个性质和这题有什么关系呢？

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①若0~i-1是由n个最短循环节构成的，那么next[i]的值就是n-1个循环节的长度。（证明P->Q成立）

我们心里肯定能想到至少等于n-1个循环节长度吧，那么你会不跟我一样想：有没有那么一个特殊的循环节，可以使得next[i]比

n-1个循环节再大一点导致这个结论不成立呢。

于是我们来证明不可能发生这种状况：

假设next[i] = n-1个循环节+这一坨黄的

假设这一部分黄的的值用a1~ax代替（简称1~x）

最长后缀前面的黄的和最长前缀前面的绿的比较，那么一个循环节开头也是1~x

这个1~x可以得出一个循环节第x+1位~2x位也是1~x（两个串比较，每个位置都要相同，这是我们假设的）

然后不停递推，可以把整个循环节的值都用1~x代替

如果恰好填满，那么循环节将不是这个坨绿的，而是这坨黄的。

如果有部分重叠，又想保证  ？~x ==1~？？的字符就要在这个1~x的黄块里面递推。最后一定可以搞出循环节比绿的小（最不济每个字符都一样循环节为1这时候一定满足了）。

所以 由 如果成立-->绿的不是最小循环节 来证明 P->Q正确

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②如果i%(i-next[i])==0，证明0~i-1是一个由循环节组成的前缀（有 i/(i-next[i]）个循环节）（证明Q->P成立）

我们要用到的是这个，也就是Q->P。

那我前面证明①结论干什么呢？？？

不管了，水水的证明一下②吧。

按照证明①时的那种递推思路即可。1->2->3->4->5->6->7

我们只需要证明：绿色长度/黄色长度 = 整数

假设绿色长度为x，那么黄色为n-x

假设 n/(n-x)=z    （z代表整数）

那么绿色 x = n-n/z

黄色 n-x = n/z

相除约分得到 (zn-n)/n，再约分=z-1，是整数

所以②证明完毕

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代码：

#include<cstdio>

const int N = 1e6+5;

char s[N];
int nt[N];

void get_next(int len)
{
    nt[0] = -1;
    for (int i=0,j=-1;i<len;){
        if (j==-1||s[i]==s[j]){
            i++;
            j++;
            nt[i] = j;
        }
        else j = nt[j];
    }
    //for (int i=0;i<=len;i++) printf("next[%d]=%d\n",i,nt[i]);
}

int main()
{
    int n;
    for (int sb=1;scanf("%d",&n),n;sb++){
        scanf("%s",s);
        get_next(n);
        printf("Test case #%d\n",sb);
        for (int i = 2;i<=n;i++){
            int l = i-nt[i];
            if (nt[i] && i%l==0) printf("%d %d\n",i,i/l);///如果nt[i]=0表示字符 0 ~ i-1 无公共前后缀
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}