UVA 10305 Ordering Tasks(拓扑排序)

题目链接:https://vjudge.net/problem/UVA-10305

解题思路:单向建边,将终点的入度加一。

当一个点入度为0时,这个点就可以被输出,同时这个点对应所有终点入度减一。

用bfs实现。

代码:

#include<cstdio>
#include<queue>

using namespace std;

const int N = 100*99/2 + 5;

struct node
{
    int to,last;
}edge[N];
int head[105],id;
int in[105],ans[105];

void add(int u,int v){edge[id].to = v;edge[id].last = head[u];head[u] = id++;}

void bfs(int n)
{
    int idx=0;
    queue<int>que;
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!in[i]) que.push(i);
    while (!que.empty()){
        int now = que.front();que.pop();
        for (int i = head[now];i!=0;i=edge[i].last){
            int v = edge[i].to;
            in[v]--;
            if (!in[v]) que.push(v);
        }
        ans[idx++] = now;
    }
    for (int i=0;i<idx;i++)
        if (!i) printf("%d",ans[0]);
        else printf(" %d",ans[i]);
    printf("\n");
}

int main()
{
    int n,m;
    while (~scanf("%d %d",&n,&m),(n||m)){
        for (int i=1;i<=n;i++) in[i] = head[i] = 0;
        id = 1;
        while (m--){
            int u,v;
            scanf("%d %d",&u,&v);
            in[v]++;
            add(u,v);
        }
        bfs(n);
    }
    return 0;
}

 

### 拓扑排序算法的实现与原理 #### 原理概述 拓扑排序是一种针对有向无环图(DAG, Directed Acyclic Graph)的操作方法,其目的是将图中的所有顶点排列成线性顺序,使得对于每一条有向边 \(u \rightarrow v\),\(u\) 都会出现在 \(v\) 的前面[^1]。如果图中存在环,则无法完成拓扑排序。 该算法的核心在于利用节点之间的依赖关系来决定它们在线性序列中的位置。通常情况下,拓扑排序可以用于解决任务调度、项目管理等问题,在这些场景下,某些任务可能需要先于其他任务执行。 #### 实现方式 常见的两种拓扑排序实现分别是基于 **Kahn 算法** 和 **深度优先搜索 (DFS)**: --- ##### Kahn 算法 Kahn 算法通过维护入度表和队列结构逐步构建拓扑序列表。具体过程如下: - 初始化一个数组记录每个节点的入度; - 将所有入度为零的节点加入到队列中; - 不断取出队首节点并将其从图中移除,同时更新与其相邻节点的入度值; - 如果某个节点的入度变为零,则将其加入队列继续处理。 以下是 Python 中基于 Kahn 算法的实现代码示例: ```python from collections import deque def topological_sort_kahn(graph): indegree = {node: 0 for node in graph} # 记录各节点的入度 # 统计每个节点的入度 for u in graph: for v in graph[u]: indegree[v] += 1 queue = deque([node for node in indegree if indegree[node] == 0]) # 入度为0的节点进入队列 result = [] while queue: current_node = queue.popleft() result.append(current_node) for neighbor in graph[current_node]: # 更新邻居节点的入度 indegree[neighbor] -= 1 if indegree[neighbor] == 0: queue.append(neighbor) if len(result) != len(indegree): # 存在环的情况 raise ValueError("Graph has at least one cycle; no valid topological ordering exists.") return result ``` 此版本的时间复杂度为 O(V + E),其中 V 是节点数,E 是边的数量[^2]。 --- ##### DFS 方法 另一种常用的拓扑排序方法是借助深度优先遍历的思想。它通过对每一个未访问过的节点调用递归函数,并在其所有的子节点都被处理完毕后再将当前节点压栈的方式得到最终的结果。 下面是采用 DFS 进行拓扑排序的一个例子: ```python def dfs_topological_sort(graph): visited = set() # 跟踪已访问的节点 stack = [] # 结果存储容器 def visit(node): if node not in visited: visited.add(node) for neighbor in graph.get(node, []): visit(neighbor) stack.insert(0, node) # 当前节点的所有邻接点都已完成时才插入结果集 nodes = list(graph.keys()) for n in nodes: if n not in visited: visit(n) return stack ``` 这种方法同样具有时间复杂度 O(V+E)[^3]。 --- #### 应用实例 假设我们有一个简单的课程安排问题,其中有几门课之间存在着前置条件约束关系。例如,“微积分”必须修完才能学习“物理”,而“代数”又是“微积分”的前提之一。那么可以用下面这样的数据表示这种依赖关系: ```python course_graph = { 'Algebra': ['Calculus'], 'Calculus': ['Physics'], 'Biology': [], 'Chemistry': ['Biology'] } print(topological_sort_kahn(course_graph)) # 输出可能是:['Algebra', 'Calculus', 'Physics', 'Biology', 'Chemistry'] 或者类似的合法顺序 ``` --- #### 注意事项 当输入图为非 DAG 类型或者含有循环路径时,以上任何一种方法都无法正常工作,因为此时不存在有效的拓扑排序方案[^4]。
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