本文介绍了Golub书中第5章的内容，聚焦于Householder反射和Givens旋转。这两种正交变换在矩阵计算中用于引入零元素和正交化。Householder反射通过超平面反射改变向量，而Givens旋转则允许更精确地引入零，特别适用于大规模矩阵。此外，还详细解释了Algorithms 5.1.3，该算法用于计算Givens旋转所需的余弦和正弦值。
因为在看SAM和ISAM，其中有些推导不太懂，所以想学一下Golub这本书中的第5章“Orthogonalization and Least Squares”。
5.1 Householder and Givens Matrices
首先回顾正交(orthogonal)的定义,如果 Q T Q = Q Q T = I n ， Q ∈ R n ∗ n Q^TQ=QQ^T=I_n，Q\in R^{n*n} QTQ=QQT=In，Q∈Rn∗n那么称 Q Q Q是正交的。正交矩阵在最小二乘和特征值计算中起重要作用。
然后介绍一下旋转(rotations)和反射(reflections)的定义。
一个二阶的正交矩阵 Q Q Q如果具有下面的形式 Q = [ c o s ( θ ) s i n ( θ ) − s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] Q=\begin{bmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) \\ -sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{bmatrix} Q=[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)]那么可以把 Q Q Q称为一个旋转(rotation)。如果 y = Q T x y=Q^Tx y=QTx，那么 y y y可以认为是二维平面上向量 x x x逆时针旋转角度 θ \theta θ得到的向量。
同样一个二阶的正交矩阵 Q Q Q如果具有 Q = [ c o s ( θ ) s i n ( θ ) s i n ( θ ) − c o s ( θ ) ] Q=\begin{bmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) \\ sin(\theta) & -cos(\theta) \\ \end{bmatrix} Q=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)−cos(θ)]的形式，那么可以把 Q Q Q称为一个反射(reflection)。如果 y = Q T x = Q x y=Q^Tx=Qx y=QTx=Qx，那么 y y y可以认为是 x x x以 S = s p a n { [ c o s ( θ / 2 ) s i n ( θ / 2 ) ] } S=span\lbrace\begin{bmatrix} cos(\theta/2)\\sin(\theta/2) \end{bmatrix}\rbrace S=span{
[cos(θ/2)sin(θ/2)]}为轴线反射的向量。其中 s p a n span span表示扩张空间。
反射和旋转易于构建，并且可以通过适当选择旋转角(rotation angle)和反射面(reflection plane)向一个向量引入零元素。这一点在SAM(Smoothing and Mapping)中信息矩阵 A A A的QR分解中有所体现，通过不断地左乘旋转，即正交矩阵 Q Q Q，可以将 A A A转化成上三角矩阵。
举例来说，假设向量 x = [ 1 3 ] x=\begin{bmatrix}1 \\ \sqrt{3}\\ \end{bmatrix} x=[13]，给定rotation矩阵即正交矩阵 Q Q Q为 Q = [ c o s ( − 6 0 ∘ ) s i n ( − 6 0 ∘ ) s i n ( − 6 0 ∘ ) − c o s ( − 6 0 ∘ ) ] = [ 1 / 2 − 3 / 2 3 / 2 1 / 2 ] Q=\begin{bmatrix} cos(-60^\circ) & sin(-60^\circ) \\ sin(-60^\circ) & -cos(-60^\circ) \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ \end{bmatrix} Q=[cos(−60∘)sin(−60∘)sin(−60∘)−cos(−6
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