SPFA【负环】

最新推荐文章于 2025-04-02 10:34:35 发布

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分类专栏：算法笔记

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博客探讨了SPFA算法在处理带有负环的图中的应用。SPFA算法虽然能在O(kE)的时间复杂度内求解最短路径并检测负环，但其稳定性不佳，尤其在稠密图中可能导致时间复杂度退化。文章指出，当一个点入队次数超过图顶点数N时，可判断存在负环，但SPFA无法直接处理含有负环的图。

算法的理解

（1）

Dijkstra无法判断负环
我们要知道带有负环的图是没有最短路径的，所以我们在执行算法的时候，要判断图是否带有负环，方法有两种：
1.开始算法前，调用拓扑排序进行判断（一般不采用，浪费时间）
2.用SPFA，如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（N为图的顶点数）
SPFA算法
优点:可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，也可以判断图中是否有负权环，即一个点入队次数超过N（有多少个点）。
缺点:1、SPFA算法稳定性较差，在稠密图中SPFA算法时间复杂度会退化。2、速度比Dijkstra慢，最坏时间复杂度非常非常差,出题人要卡不带优化的SPFA非常容易,加了优化后卡不卡的掉比较看脸。

（2）

SPFA 在形式上和BFS非常类似，不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。所以可以判断负环，但SPFA无法处理带负环的图，只能判断。

（3）

负环，又叫负权回路，负权环，指的是一个图中存在一个环，里面包含的边的边权总和<0。在存在负环的图中，是求不出最短路径的，因为只要在这个环上不停的兜圈子，最短路径就会无限小。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int Max=1e5+10;
struct Edge
{
    int u,v,w;
    int next;
} e[Max*2];
int n,m,S,T,cnt=1,head[Max*2],dis[Max];
int In[Max],vis[Max];
queue<int>q;
void Add_Edge(int a,int b,int w)  //链式前向星存图
{
    e[cnt].u=a;
    e[cnt].v=b;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].next=head[a];
    head[a]=cnt++;
}
int SPFA()
{
    mem(dis,INF);
    mem(vis,0);
    mem(In,0);
    dis[S]=0;
    vis[S]=1;
    In[S]++;
    q.push(S);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;  //标记该点不再队列
        for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].next)
        {
            if(dis[e[i].v]>dis[e[i].u]+e[i].w)
            {
                dis[e[i].v]=dis[e[i].u]+e[i].w;
                if(vis[e[i].v]==0)
                {
                    q.push(e[i].v);
                    vis[e[i].v]=1;  //标记该点进入队列
                    if(++In[e[i].v]>n)  //出现一个点进入队列的次数大于n，又负环，求不出最短路
                        return 0;
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T); //有几个点，几天边，起点，终点
    int a,b,w;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);  //a和b之间有一天权值为w的边
        Add_Edge(a,b,w);
    }
    if (!SPFA())  //有负环
        printf("FAIL!\n" );
    else
        printf("%d\n",dis[T]);  //S到T的最短路
    return 0;
}