(1)
Dijkstra无法判断负环
我们要知道带有负环的图是没有最短路径的,所以我们在执行算法的时候,要判断图是否带有负环,方法有两种:
1.开始算法前,调用拓扑排序进行判断(一般不采用,浪费时间)
2.用SPFA,如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(N为图的顶点数)
SPFA算法
优点:可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径,也可以判断图中是否有负权环,即一个点入队次数超过N(有多少个点)。
缺点:1、SPFA算法稳定性较差,在稠密图中SPFA算法时间复杂度会退化。2、速度比Dijkstra慢,最坏时间复杂度非常非常差,出题人要卡不带优化的SPFA非常容易,加了优化后卡不卡的掉比较看脸。
(2)
SPFA 在形式上和BFS非常类似,不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列,但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列,也就是一个点改进过其它的点之后,过了一段时间可能本身被改进,于是再次用来改进其它的点,这样反复迭代下去。所以可以判断负环,但SPFA无法处理带负环的图,只能判断。
(3)
负环,又叫负权回路,负权环,指的是一个图中存在一个环,里面包含的边的边权总和<0。在存在负环的图中,是求不出最短路径的,因为只要在这个环上不停的兜圈子,最短路径就会无限小。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int Max=1e5+10;
struct Edge
{
int u,v,w;
int next;
} e[Max*2];
int n,m,S,T,cnt=1,head[Max*2],dis[Max];
int In[Max],vis[Max];
queue<int>q;
void Add_Edge(int a,int b,int w) //链式前向星存图
{
e[cnt].u=a;
e[cnt].v=b;
e[cnt].w=w;
e[cnt].next=head[a];
head[a]=cnt++;
}
int SPFA()
{
mem(dis,INF);
mem(vis,0);
mem(In,0);
dis[S]=0;
vis[S]=1;
In[S]++;
q.push(S);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0; //标记该点不再队列
for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].next)
{
if(dis[e[i].v]>dis[e[i].u]+e[i].w)
{
dis[e[i].v]=dis[e[i].u]+e[i].w;
if(vis[e[i].v]==0)
{
q.push(e[i].v);
vis[e[i].v]=1; //标记该点进入队列
if(++In[e[i].v]>n) //出现一个点进入队列的次数大于n,又负环,求不出最短路
return 0;
}
}
}
}
return 1;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T); //有几个点,几天边,起点,终点
int a,b,w;
for(int i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&w); //a和b之间有一天权值为w的边
Add_Edge(a,b,w);
}
if (!SPFA()) //有负环
printf("FAIL!\n" );
else
printf("%d\n",dis[T]); //S到T的最短路
return 0;
}