梯度下降的正确性（泰勒一阶展开证明）

最新推荐文章于 2025-05-28 15:45:38 发布
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人工智能-损失函数-优化算法：梯度下降法的背后原理【一阶泰勒展开】
u013250861的博客
10-29 967
一、梯度下降法 梯度下降算法的思想，它将按如下操作达到最低点： 明确自己现在所处的位置。 找到相对于该位置而言下降最快的方向。 沿着第二步找到的方向走一小步，到达一个新的位置，此时的位置肯定比原来低。 回到第一步。 终止于最低点。 从数学角度来看，多元函数的梯度方向是函数增长最快的方向，那么梯度的反方向就是函数减少最快的方向。 以二元函数为例： z=f(x,y)z = f(x,y)z=f(x,y) 现在确定一个点 (x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0​,y0​)，这个点是水平面上的，即在 xo
走进数学领域，认识泰勒展开
最新发布
AI天才研究院
07-09 870
本文的核心目的是用通俗易懂的方式解释泰勒展开的本质：它是如何将复杂函数拆解为多项式的，以及为什么这种拆解有用。我们会覆盖泰勒展开的基本概念（如展开点、导数项、余项）、数学公式、代码实现，以及实际应用场景。范围限定在单变量函数的泰勒展开（不涉及高维），适合对微积分有初步了解（知道导数是什么）但想深入理解泰勒展开的读者。用“计算器计算sin(0.1)”的问题引入，说明为什么需要泰勒展开；用“乐高积木搭函数”的比喻，解释泰勒展开的核心思想；推导泰勒展开的数学公式，用导数和阶乘解释多项式系数；
梯度下降的一阶泰勒公式展开证明
热门推荐
03-14 1万+
在确定损失函数后，通过梯度下降优化算法来估计模型的未知参数： 为何 根据一阶泰勒展开，对于一个可微函数，对于任意的x，有： ，其中是梯度，如果一维情况就是一阶导数。 而其中, 是两向量之间的夹角。 当为180度得时候，g(x)*p可取到最小值，即为下降最快的方向。所以，负梯度方向为函数f(x)下降最快的方向，x为未知参数， 对X进行迭代更新 如果f(x)是凸
动手学深度学习 - 优化算法 - 12.3 梯度下降
tang7mj的博客
05-28 650
本文系统介绍了深度学习中的基础优化算法——梯度下降。首先从一维梯度下降入手，通过泰勒展开证明负梯度方向可使目标函数单调下降，并讨论了学习率选择的重要性，指出过大或过小的学习率分别会导致发散或收敛缓慢。接着扩展到多维情况，引入梯度向量概念。此外，讲解了牛顿法等自适应方法，分析其快速收敛特性及在非凸问题中的局限性，并探讨了预处理和线搜索等改进策略。最后强调梯度下降是现代优化算法（如Adam）的基础，并提供了相关实践练习。
深度学习优化算法之梯度下降(泰勒展开式推导)
深度学习领域优质创作者，优快云博客专家
09-06 3119
泰勒展开式与黑塞矩阵对于梯度的解释
深度学习第七章一维梯度下降泰勒展开记录
wuwei178的博客
12-01 320
书中描述公式 泰勒展开原式 书中公式推导
泰勒（Taylor）级数和梯度下降（gradient descend）的关系
Michael_yan的专栏
11-18 4460
So taylor series is used to approximate the value of the function at X+h when we know the value of the function at X.f(x+h) = f(x)+f'(x)*h+f''(x)*h*h/2!+f'''(x)*h*h*h/3!+...........Gradient descent is
梯度下降参数不收敛_数据分析|梯度下降算法
weixin_39622891的博客
11-21 1438
OX00 统计学习三要素统计学习三要素：模型、策略、算法模型（=假设空间=所有备选模型）：决策函数（y=f（x）），条件概率分布，两种形式 （一种是判别式模型，一种是生成式模型）策略：确定标准，决定最优标准最重要是确定损失函数：测试值与真实值之间差别的惩罚。算法：如何选择最优模型；OX01 常见的最优化算法判别模型：感知机，k近邻，决策树，逻辑回归，支持向量机，条件随机场，最大熵模型。生成模型：朴...
机器学习中为什么需要梯度下降?梯度下降算法缺点?_还不了解梯度下降法？看完这篇就懂了！...
weixin_39536010的博客
11-21 1192
0x00 前言：机器学习方法论 在此之前，我们已经学习了分类算法：kNN算法，回归算法：线性回归。我们知道：机器学习就是需找一种函数f(x)并进行优化， 且这种函数能够做预测、分类、生成等工作。那么其实可以总结出关于“如何找到函数f(x)”的方法论。可以看作是机器学习的“三板斧”：第一步：定义一个函数集合(define a function set)第二步：判断函数的好坏(goodnes...
万字长文，揭开梯度下降的神秘面纱：从理论基础到批量、随机、小批量梯度下降实战演练
致力于探索人工智能和编码的奇妙世界，为读者提供有关AI技术、编程和科技创新的精彩内容。
04-28 1451
本文系统阐述梯度下降算法在机器学习中的原理与应用。介绍其求解无约束最优化问题的核心思想，推导公式并分析学习率、全局最优解等关键要素。对比批量、随机及小批量梯度下降方法的差异与优劣，探讨优化策略。通过线性回归实例，展示三种方法的代码实现过程，凸显其在模型训练中的重要价值与应用潜力。
机器学习笔记——深入梯度下降细节
dzc_go的博客
09-24 752
机器学习笔记——梯度下降一、梯度下降回顾二、学习率的调整1.学习率对梯度下降的影响2.Adagrad动态调整学习率三、随机梯度下降(Stochastic)四、特征缩放(Feature Scaling)五、数学证明六、我的疑问 一、梯度下降回顾 在回归分析的步骤3中我们需要解决的是如下的优化问题： θ∗=argminθL(θ)\theta^*=argmin_{\theta}L(\theta)θ∗=argminθ​L(θ)其中L是函数的函数，但我们也可以用函数的参数来代替此函数。θ\thetaθ代表的是一组参
吴恩达梯度下降算法总结
11-27
自己学习吴恩达机器学习的总结，主要是关于梯度下降算法的一些推导与介绍，以及解释了，吴恩达课中没有解释推导的内容。
均匀梯度展开
05-05
宇宙奇异性通常是通过梯度扩展来讨论的，该梯度扩展还可以描述在准De Sitter阶段逐步抑制曲率不均匀性。 虽然正在形成通货膨胀事件的视界，但上述两种机制并存，并且可以构想出统一的扩展并将其应用于跨越原始通货膨胀边界的空间梯度的演变。 有人认为，应对通货膨胀前的初始条件的常规论点是必要的，但通常不足以保证常规通货膨胀阶段的均匀开始。
泰勒展开式推导梯度下降
qq_40128284的博客
07-10 1911
关于梯度下降的公式可能大家耳熟能详，沿着梯度的反方向一步一步的移动，总能到达我们想要的最优点；可是为什么可以这样做呢？开始我的答案无非就是“梯度的反方向就是损失值下降最快的方向”，最近看了李宏毅老师的梯度下降算法发现别有洞天，接下来我将以通俗的语言来详细解释梯度下降算法公式的数学推导过程。 推导梯度下降之前开始引入一个Feature scaling(特征缩放): 假设我们要优化的目标函数为：，当的变化以1,2，.....这样比较小幅度的变化，而以100,200，.....比较大幅度的变化，因此与对.
使用泰勒展开解释梯度下降方法参数更新过程
胖胖大海的博客
01-17 1566
泰勒公式： 一阶泰勒展开： 梯度下降是逐步迭代，损失函数逐步降低的过程： 为了满足上述不等式条件，取，则上式变为： 因为是步长，，所以上述不等式成立。 从而得出梯度下降的参数更新公式： ...
梯度下降法和泰勒公式
BTboay
05-22 7056
第一部分：泰勒公式 在高数中，引出相关需求，其描述如下： 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达。由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次的加，减，乘三种算数运算，便能求出它的函数值，因此我们经常用多项式近似表达函数。 简单说来，就是：在误差允许的前提下，我们用多项式(简单函数)来近似代替复杂函数，使得复杂函数的应用更加方便 所以说，泰勒公式是使用多项...
为什么梯度下降是有效的？
JingYi的专栏
12-20 3652
       在机器学习的很多模型中都用到了梯度下降法或者基于梯度下降的改进算法，那么究竟梯度下降法是如何保证算法的正确性或者说它是有效的呢？接下来，本文将简单分析这个问题。1. 直观认识        以线性回归为例，这里定义了代价函数如下：        我们训练模型的目的就是求得一组解θ0, θ1使得代价函数J最小，其中θ0, θ1与代价函数J的函数图像大致如下图所示：       为了找到...
一阶泰勒展开线性化学习笔记
5uSerg0的博客
07-29 2194
在使用yalmip和cplex求解器求解问题中遇到了目标函数包含非线性的问题，由于是初学者没有使用过线性化方法，在这里写下笔记作为记录方便后续的学习。其中L(x)为函数f(x)在点[a,f(a)]处的一节泰勒展开，一阶泰勒展开公式可以在点[a,f(a)]附近近似非线性函数f(x)。本人没有系统学习过MATLAB、yalmip、cplex和线性化方法，以上内容是自己的想法，想法简单不够严谨，请各位大佬批评指正。1、求展开点函数值 2、求展开点梯度 3、构造线性函数。
机器学习笔记5-梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法
intricate_的博客
03-22 614
梯度下降和牛顿法的推导均与泰勒公式有关，所以先介绍泰勒展开公式：
梯度下降法原理
03-27
<think>好的，我现在需要回答用户关于梯度下降法基本原理的问题，包括工作机制和数学原理。首先，我要回忆梯度下降法的基础知识。梯度下降法是一种优化算法，用于寻找函数的极小值。在机器学习中，通常用于最小化损失函数，从而优化模型参数。 根据用户提供的引用内容，引用[1]提到梯度下降法是机器学习中的基础优化算法，通过减去α倍梯度来更新参数θ。引用[2]指出梯度下降基于凸函数，迭代调整参数以找到局部最小值。引用[4]详细讲解了梯度的概念和梯度下降法的应用，特别是在模型训练中的重要性。 接下来，我需要组织回答的结构。按照用户的要求，结构要清晰，逐步解释。首先介绍梯度下降的目的，然后工作机制分步骤说明，接着数学原理，可能包括公式推导，最后应用和变种。 工作机制部分可能需要分点列出：初始化参数、计算梯度、更新参数、迭代终止条件。数学原理方面，需要用到泰勒展开或者导数方向来解释为什么沿着负梯度方向下降最快。这里要确保使用正确的LaTeX格式，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$。例如，参数更新公式应该是：$$θ_{k+1} = θ_k - α \nabla J(θ_k)$$ 需要注意的是，用户提供的引用中提到了梯度下降法在凸函数中的应用，但实际中也可能用于非凸函数，比如神经网络，这时可能会陷入局部最优。不过引用[2]提到的是凸函数，可能这里需要指出基本梯度下降适用于凸函数的情况，而变种如随机梯度下降更适合非凸。 另外，引用[4]提到梯度下降法的变种，如随机梯度下降、小批量梯度下降，这些可以作为后续的问题或者简要提及。用户的问题主要关注基本原理，所以重点在机制和数学推导。 在数学推导部分，可能需要解释梯度方向是函数上升最快的方向，因此负梯度方向是下降最快的方向。可以用泰勒展开来近似损失函数，展示如何通过选择步长α来确保每次迭代损失函数减小。例如，假设当前参数θ_k，损失函数J(θ)在θ_k处的一阶泰勒展开为：J(θ) ≈ J(θ_k) + ∇J(θ_k)·(θ - θ_k)，要让J(θ_{k+1}) < J(θ_k)，需要选择θ_{k+1}使得这个近似值更小，从而导出差分更新公式。 同时需要提到学习率α的重要性，过大会导致震荡，过小收敛慢。可能引用中的内容提到调整参数，比如引用[4]讨论收敛速度和局部最优的问题，这里可以指出学习率的选择是关键因素之一。 最后，应用场景部分可以简要提及，如线性回归、逻辑回归中的参数优化，以及深度学习中的反向传播。但用户的问题主要在于工作机制和数学原理，所以这部分可以简短带过，或者留到相关问题中。 检查是否所有数学公式都正确使用LaTeX，比如梯度符号是\nabla，参数θ用$\theta$，确保行内公式正确，独立公式单独成段。例如，参数更新规则应该用独立公式，而梯度方向可以用行内公式如$-\nabla J(\theta)$。 还要生成相关问题，可能需要根据内容提出，如梯度下降的变种、学习率选择、收敛性分析等。参考用户示例中的问题，可以设计类似的问题。 现在需要确保回答符合所有系统级指令，包括正确的中文回答、LaTeX格式、引用标注在段落末尾，并且生成相关问题。引用标注要自然，例如在提到梯度下降用于训练模型时添加[^1][^4]，在提到凸函数时引用[^2]。 总结回答的结构： 1. 梯度下降的目的：最小化损失函数，优化参数。 2. 工作机制分步骤：初始化、计算梯度、更新参数、终止条件。 3. 数学原理：梯度方向，泰勒展开，更新公式推导。 4. 关键因素：学习率，初始点。 5. 应用与变种。 6. 相关问题。 现在开始撰写正式回答，确保每个部分清晰，引用正确，公式无误。</think>### 梯度下降法的基本原理 梯度下降法是一种通过迭代调整参数以最小化目标函数（如机器学习中的损失函数）的优化算法。其核心思想是沿函数的负梯度方向逐步更新参数，最终逼近函数的最小值。 --- #### 一、工作机制 1. **初始化参数** 随机选择初始参数值 $\theta_0$，并设定学习率 $\alpha$（步长）和迭代终止条件（如最大迭代次数或梯度阈值）。 2. **计算梯度** 在每次迭代中，计算目标函数 $J(\theta)$ 在当前参数 $\theta_k$ 处的梯度 $\nabla J(\theta_k)$。梯度表示函数在该点上升最快的方向，因此负梯度方向是函数下降最快的方向。 3. **更新参数** 沿负梯度方向更新参数： $$\theta_{k+1} = \theta_k - \alpha \nabla J(\theta_k)$$ 学习率 $\alpha$ 控制步长大小，过大可能导致震荡，过小则收敛缓慢。 4. **终止条件** 重复上述步骤，直到梯度接近零（达到局部最小值）或满足预设的终止条件。 --- #### 二、数学原理 梯度下降法的数学基础源于泰勒展开和方向导数的性质： 1. **泰勒展开近似** 在 $\theta_k$ 处对 $J(\theta)$ 进行一阶泰勒展开： $$J(\theta) \approx J(\theta_k) + \nabla J(\theta_k)^\top (\theta - \theta_k)$$ 为了使 $J(\theta_{k+1}) < J(\theta_k)$，需选择 $\theta_{k+1}$ 使得 $\nabla J(\theta_k)^\top (\theta_{k+1} - \theta_k) < 0$，即沿负梯度方向更新。 2. **最速下降方向** 负梯度方向 $-\nabla J(\theta_k)$ 是函数在该点下降最快的方向。这一性质可通过方向导数证明。 --- #### 三、关键因素 1. **学习率的选择** 固定学习率可能导致震荡或收敛缓慢，动态调整（如自适应学习率算法）可改善效果。 2. **初始点的敏感性** 初始参数值可能影响收敛结果，尤其在非凸函数中易陷入局部最优[^2]。 --- #### 四、应用与变种 - **应用场景**：线性回归、逻辑回归的参数优化，神经网络中的反向传播[^3]。 - **常见变种**：随机梯度下降（SGD）、小批量梯度下降（Mini-batch GD）、动量法（Momentum）等，用于提升收敛速度或跳出局部最优。 ---
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