二范数的Taylor展开

最新推荐文章于 2024-05-13 14:41:03 发布

西北旺梁朝伟

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分类专栏：信号处理文章标签：算法

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二范数的Taylor展开

考虑一个方程 $f(c)=∥a−bc∥f(\mathbf{c})=\Vert \mathbf{a}-\mathbf{bc}\Vert$ ，其中 $a∈RN,b∈RN×N,c∈RN\mathbf{a}\in \mathbb{R}^N,\mathbf{b}\in\mathbb{R}^{N\times N},\mathbf{c}\in \mathbb{R}^N$ 。需要对该方程应用Taylor展开至一次项，有
$f(\mathbf{c}) = f(0)+\nabla f(x)|_{x=0}^T \mathbf{c}=\Vert\mathbf{a}\Vert+\nabla f(0)|^T \mathbf{c}$
探讨 $∇f(0)∣Tc\nabla f(0)|^T \mathbf{c}$ ，有
$\begin{aligned} f(\mathbf{c}) &= \Vert \mathbf{a} -\mathbf{bd}\Vert=\sqrt{(\mathbf{a-bc})^T(\mathbf{a-bc})}\\ \nabla f(\mathbf{c})&=\frac{1}{2\Vert \mathbf{a-bc}\Vert}2(\mathbf{a-bc})(-1)\mathbf{b}^T\\ \nabla f(0)&=-\frac{1}{2\Vert\mathbf{a}\Vert}2\mathbf{ab}^T=-\frac{\mathbf{ab}^T}{\Vert \mathbf{a}\Vert} \end{aligned}$
所以带入有

$\begin{aligned} f(\mathbf{c})&=\Vert \mathbf{a}\Vert+\nabla f(0)|^T \mathbf{c} \\ &= \Vert\mathbf{a}\Vert - \frac{\mathbf{ba}^T}{\Vert \mathbf{a}\Vert}\mathbf{c}\\ \Rightarrow f(\mathbf{c})\Vert \mathbf{a}\Vert &=\Vert \mathbf{a}\Vert^2-\mathbf{ba}^T\mathbf{c}\\ \Rightarrow \left(f(\mathbf{c})-\Vert \mathbf{a}\Vert\right)\Vert \mathbf{a}\Vert &=-\mathbf{ba}^T\mathbf{c}\\ \end{aligned}$