剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

最新推荐文章于 2025-07-16 23:46:59 发布

俯仰天地

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分类专栏：剑指offer 文章标签：矩阵线性代数算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43669978/article/details/121317507

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本文介绍了如何使用矩阵快速幂的方法优化斐波那契数列的计算，以达到O(log n)的时间复杂度。通过构建特定矩阵并进行快速幂运算，可以高效地求解斐波那契数列的第n项，并在模1e9+7的环境下处理结果。这种方法节省了空间，只使用常数空间即可完成计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

0 <= n <= 100

方法一：递归法

过于简单，略过。

方法二：滚动数组

我们要表现的始终都是 $F (n + 1), F (n) 和 F (n - 1)$ 三个数之间的关系，所以我们只需要用三个数来滚动表示他们即可：

代码如下：

Class Solution{
  static final int MOD = 100000007;
  int Fib(int n){
    int p=0, q=0, r=1;
    for(int i=0; i<n; i++){
      p = q;
      q = r;
      r = (p + q) % MOD;
    }
    return q;
  }
}

时间复杂度：O(n)。
空间复杂度：O(1)。

方法三：矩阵的快速幂

通过矩阵的快速幂来降低时间复杂度：

构建等式：

在这里插入图片描述
因此

在这里插入图片描述

代码如下：

class Solution {
  	//模
    public static final int MOD = 1000000007;
  	//主函数
    public int fib(int n) {
        if(n < 2){return n;}
        int[][] q = {{1,1},{1,0}};
        int[][] result = pow(q, n-1);
        return result[0][0];
    }
		//计算快速幂的方法
    public int[][] pow(int[][] a, int n){
        int[][] ret = {{1,0},{0,1}};
        while(n>0){
            if((n&1) == 1){
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n = n >> 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }
		//定义矩阵乘法
    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b){
        int [][] c = new int[2][2];
        for(int i=0;i<2;i++){
            for(int j=0;j<2;j++){
                c[i][j] = (int)(((long)a[i][0]*b[0][j]+(long)a[i][1]*b[1][j])%MOD);
            }
        }
        return c;
    }
}