NO.4数据结构数组和矩阵|一维数组|二维数组|对称矩阵|三角矩阵|三对角矩阵|稀疏矩阵

数组的储存

【定义】

数组： 由 n（≥1） 个相同类型的数据元素构成的有限序列， 是线性表的推广。
一旦被定义， 维数和长度就不可再改变， 一般对其只有元素的存取和修改操作。

一维数组

$$Arr[a_0,\dots ,a_{n-1}]$$
计算 ai 的位置： pos(ai) = pos(a0) + i *L (ai 前面有 i 个元素）

二维数组

——可看作元素是一维数组的一维数组。 假设为 n*m 大小。
行优先

列优先

特殊矩阵的压缩

——多个值相同的元素只分配一个存储空间， 对零元素不分配空间。

对称矩阵

aij = aji

若从 a1,1 开始， 则 ai,j 在一维数组中存储下标

一般存储下三角矩阵
下三角区域（含主对角线）
第一行：1个元素
第二行：2个元素
第i-1行：i-1个元素
第i行:j-1个元素
故 aij 为第i(i-1)/2+j个元素

i(i-1)/2+j-1, i >= j 下三角区和主对角线
j(j-1)/2+i-1, i < j 上三角区

三角矩阵

——上三角区 or 下三角区全为同一常量 => 会浪费一半的存储空间。

下三角矩阵元素 aij 和数组下标的关系
n(n+1)/2, i < j 上三角区
i(i-1)/2+j-1, i ≥ j 下三角区和主对角线

上三角矩阵元素 aij 和数组下标的关系

上三角区域 （包含主对角线）
第一行：n个元素
第二行:n-1个元素
第i-1行：n-i+2个元素
第i行:j-i个元素
ai;为第(n+n-i+2)(i-1)/2 + j-i+1=(i-1)(2n-i+2)/2+j-i+1个元素

n(n+1)/2, i > j 下三角区
(i-1)(2n-i+2)/2 + (j-i), i ≤ j 上三角区和主对角线

三对角矩阵

——也称带状矩阵， 对于 ai,j,当|i-j|>1 时， 有 ai,j = 0

除第1行和第i行外，每行都有三个元素，
第i行有j-i+2个元素，
故aij为第(i-2)*3+2+j-i+2=2i+j-2个元素

三对角矩阵的顺序存储

三对角矩阵元素 aij 和数组下标的关系
k = 2i + j -3

稀疏矩阵储存方式

顺序储存（三元组表示法&伪地址表示法）
链式存储（邻接表表示法&十字链表表示法）