IPA多项式承诺方案--(2)预备知识

在进入正题前，这篇文章笔者对方案的解析理解思路，叙述和理解过程可能存在一些错误，欢迎大家留言讨论。

基于内积定理（Inner Product Argument）实现的多项式承诺方案，为了方便，简称为IPA多项式承诺方案。在阅读承诺方案前，需要掌握Pedersen承诺、内积和$\Sigma$ 协议相关知识，Pedersen承诺在前文已介绍。此外，还需掌握一些常见方法来缩小证明大小。

内积

对于$a=(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1})$和$G=(G_0,G_1,\cdots ,G_{n-1})$的内积计算公式为

$$<a,G>=a_0{G}_0+a_1{G}_1+\cdots +a_{n-1}{G}_{n-1}$$

内积满足以下性质

• 乘法交换律：$\forall b\in F,<ba,G>=<a,bG>=b<a,G>$

• 乘法分配律1：$\forall a,b,G\in F^n$ ,$<a+b,G>=<a,G>+<b,G>$

• 乘法分配律2:$\forall a,b,G_1,G_2\in F^n,<a+b,G_1+G_2>=<a,G_1>+<a,G_2>+<b,G_1>+<b,G_2>$

对于多项式$f(X)=a_0+a_{1}X+\cdots +a_{n-1}{X}^{n-1}$在$z$点的值为$f(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}{z}^{n-1}$，可以写成内积的形式，即$f(z)=<a,b>$，其中$a=(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1})$，$b=(1,z,\cdots ,z^{n-1})$。

如何将多个验证等式合并为一个验证等式？–随机线性化组合

举个例子，假设证明者声明$P_1,P_2$由$<a,G>$和$<b,G>$计算的两个内积，其中$G$是公开的，$a,b$只有证明者知道。证明者将$a,b$发送给验证方进行如下验证。

$$\begin{gathered} P_1=<a,G> \\ {P}_2=<b,G> \end{gathered}$$

验证等式成立，则证明$P_1,P_2$通过$<a,G>$和