无监督学习——降维问题：主成分分析（PCA）详解

降维问题：主成分分析（PCA）详解

一、引言

在机器学习和数据分析领域，我们常常会遇到高维数据。高维数据虽然包含了丰富的信息，但也带来了诸多问题，如计算复杂度增加、数据稀疏性、过拟合风险提高等。降维技术应运而生，它能够在尽可能保留数据重要信息的前提下，减少数据的维度。主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的无监督降维方法，被广泛应用于数据可视化、特征提取、数据压缩等方面。本文将详细介绍 PCA 的原理、应用场景，并通过具体案例和代码展示其使用方法。

二、PCA 算法原理

2.1 基本思想

PCA 的核心思想是找到数据的主成分，这些主成分是数据方差最大的方向。通过将数据投影到这些主成分上，我们可以在减少数据维度的同时，尽可能保留数据的信息。具体来说，PCA 会寻找一组正交的方向（主成分），使得数据在这些方向上的投影方差最大。第一个主成分是数据方差最大的方向，第二个主成分是与第一个主成分正交且方差次大的方向，以此类推。

2.2 数学推导

假设我们有一个 $n$ 维的数据集 $X=[x_1,x_2,\cdots ,x_m{]}^T$，其中 $x_i$ 是一个 $n$ 维向量，$m$ 是样本数量。PCA 的目标是找到一个 $n\times k$ 的投影矩阵 $W$，将 $X$ 投影到 $k$ 维空间（$k<n$），得到降维后的数据 $Y=XW$。

为了找到最优的投影矩阵 $W$，我们需要最大化投影后数据的方差。设投影后的样本为 $y_i=W^T{x}_i$，投影后数据的协方差矩阵为 $S_y=m-1$