矩阵快速幂优化dp

矩阵乘法

算法学习

模板学习

前言： 矩阵快速幂可以优化 $dp$ ，加快递推式。

矩阵乘法： $C_{ij}={\sum }_{k=1}^n{A}_{ik}\times B_{kj}$

模板： $P3390$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define X 2
const int P=1e9+7;
struct Mat {
    vector<vector<LL> >a;
    Mat(){
        a.resize(X,vector<LL>(X,0));
    }
    Mat(vector<vector<LL> >b){
        a=b;
    }
	Mat one(){
        Mat a;
		for(int i=0;i<X;i++)a.a[i][i]=1;
        return a;
	}
	Mat operator *(const Mat &obj){
		Mat ret;
		for(int i=0; i<X; i++) {
			for(int j=0; j<X; j++) {
				for(int k=0; k<X; k++) {
					ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a[i][k]*obj.a[k][j])%P;
				}
			}
		}
		return ret;
	}
    Mat ksm(Mat a,LL b){
        Mat ret=one();
        while(b){
            if(b&1)ret=ret*a;
            a=a*a;
            b>>=1;
        }
        return ret;
    }
};

优化思路

$A_t=A_{t-1}\times C=>A_t=A_1\times C^{t-1}$

由于符合分配律，因此可以通过计算 $C^{t-1}$ 来加速计算 $A_t$ 。

时间复杂度：$O(t{n}^3)$

博客

十个利用矩阵乘法解决的经典题目 | Matrix67: The Aha Moments

练习1：加速dp递推式

例题1：P1962

题目描述： $f_1=f_2=1,f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$ 。求 $f_n(\mathrm{mod}mod)$ 。$n<2^{63}$ 。

问题分析：

• $(f_i,f_{i+1})\times \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=(f_{i+1},f_{i+2})$
• 即可得到：$(f_n,f_{n+1})=(f_1,f_2)\times {\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{n-1}$

void solve(){
    LL n;
    cin>>n;
    Mat a({{0,1},{1,1}});
    a=a.ksm(a,n-1);
    cout<<(a.a[0][0]+a.a[1][0])%P<<'\n';
}

例题2：P2044

题目描述： 给定 $f_0$ ，已知 $f_i=(t\times f_{n-1}+p)(\mathrm{mod}P1)$ 。求 $f(n)(\mathrm{mod}P2)$ 。$n,P1\in [1,1e18],t,p,f_0\in [0,1e18],P2\in [1,1e8]$ 。

问题分析：

• $(f_i,f_{i+1})\times \left[\begin{array}{cc}t& 0\\ 1& 1\end{array}\right]=(f_{i+1},f_{i+2})$

例题3：P1939

题目描述： $f_1=f_2=f_3=1,f_i=f_{i-1}+f_{i-3}$ 。求 $f(n)(\mathrm{mod}1e9+7)$ 。$T<=100,1<=n<=1e9$ 。

问题分析：

• $(f_i,f_{i+1},f_{i+2})\times \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]=(f_{i+1},f_{i+2},f_{i+3})$

void solve(){
    LL n;
    cin>>n;
    Mat a({{0,0,1},{1,0,0},{0,1,1}});
    a=a.ksm(a,n-1);
    cout<<(a.a[0][0]+a.a[1][0]+a.a[2][0])%P<<'\n';
}

图上加速

例题1：

题目描述： 给定 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图。求 $t$ 秒后，$1$ 到 $n$ 的不同路径数有多少种。

问题分析：

• 设 $A$ 为邻接矩阵，其中 $A_{ij}=1$ 表示存在 $i->j$ 的边。
• 设 $C_{ij}={\sum }_{k=1}^n{A}_{ik}\times A_{kj}$ ，则 $C_{ij}$ 表示 $i$ 到 $j$ 经过两条边的路径数量。
• 则 $A^t[1][n]$ 就是答案。

例题2：P5789

题目描述： 给定 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图。初始在点 $1$ ，没秒钟可能会发生：爆炸，原地不动，从某条边走向下一个点。求 $t$ 秒后。行为方案数有多少种。答案对 $2017$ 取模。

问题分析：

• 每个点连个自环，来维护：原地不同
• 每个点向 $0$ 连边并让 $0$ 连一个自环，来维护：爆炸。
• 然后让套路做即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int P=2017;
int n,m;
struct Mat {
    vector<vector<LL> >a;
    Mat(){
        a.resize(n+1,vector<LL>(n+1,0));
    }
    Mat(vector<vector<LL> >b){
        a=b;
    }
	Mat one(){
        Mat a;
		for(int i=0;i<=n;i++)a.a[i][i]=1;
        return a;
	}
	Mat operator *(const Mat &obj){
		Mat ret;
		for(int i=0; i<=n; i++) {
			for(int j=0; j<=n; j++) {
				for(int k=0; k<=n; k++) {
					ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a[i][k]*obj.a[k][j])%P;
				}
			}
		}
		return ret;
	}
    Mat ksm(Mat a,LL b){
        Mat ret=one();
        while(b){
            if(b&1)ret=ret*a;
            a=a*a;
            b>>=1;
        }
        return ret;
    }
};
void solve(){
    cin>>n>>m;
    vector<vector<LL> >a(n+1,vector<LL>(n+1));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        a[u][v]=1;
        a[v][u]=1;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)a[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i][0]=1;
    Mat x(a);
    LL t;
    cin>>t;
    x=x.ksm(x,t);
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)ans=(ans+x.a[1][i])%P;
    cout<<ans;
}