DP学习手册(01背包和完全背包对比)

本文深入探讨了背包问题的两种主要类型——01背包和完全背包,提供了详细的算法解释和代码示例,包括一维和二维的解决方案,以及如何优化计算过程。

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第一题是一个01?问题,洛谷中的采药,只有两种情况,放或者是不放,刚开始来一种二维的解法,在考虑第i种的时候 看一下背包九讲里的说法

将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略
(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题
就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转
化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再
加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]
f[i][v] = Max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);

在这里插入图片描述
这是01背包的一维写法

贴一道洛谷上的题
P1048 采药
题目描述
辰辰是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时间,每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰,你能完成这个任务吗?

输入输出格式
输入格式:
第一行有22个整数T(1 \le T \le 1000)T(1≤T≤1000)和M(1 \le M \le 100)M(1≤M≤100),用一个空格隔开,TT代表总共能够用来采药的时间,MM代表山洞里的草药的数目。
接下来的MM行每行包括两个在11到100100之间(包括11和100100)的整数,分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式:
11个整数,表示在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例
输入样例#1: 复制
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例#1: 复制
3

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[101][1010];
int dp1[1010];
int times[200];
int v[200];
int main() {
  int t,m;
  cin>>t>>m;
  for(int i=1;i<=m;i++) {
    cin>>times[i]>>v[i];
  }
  for(int i=1;i<=m;i++)
  for(int j=t;j>=0;j--) {
    if(j>=times[i]) {
      //dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-times[i]]+v[i]);
      dp1[j]=max(dp1[j],dp1[j-times[i]]+v[i]);
    }
    //else
  //  dp[i][j]=dp[i-1][j];
  }
//  cout<<dp[m][t];
//  cout<<endl;
  cout<<dp1[t];
}
被注释掉的地方是二维的做法,不过由于二维容易tle和mle建议不用

下面说一下优化的原理
复制的:
主循环i=1…N,每次算出来二维数组f[i][0…V]的所有值。那么,如果只用一个数组f[0…V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V…0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
在这里插入图片描述

下面是完全背包 即每种物品可以放无限次
在这里插入图片描述

基本思路 这个问题非常类似于01背包问题,所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种
物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2件……等很
多种。如果仍然按照解01背包时的思路,令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最
大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程:

f[i][v] = max{f[i − 1][v − k × c[i]] + k × w[i]} 此处的k 0<=k*c[i]<=v
优化的话可以考虑一下性价比:
若两件物品i、j满足c[i] 6 c[j]且w[i] > w[j],则将物品j去掉,不用考虑。这个优化的正确性显然:任何情况下都可
将价值小费用高得j换成物美价廉的i,得到至少不会更差的方案。

这里又一种完全背包的解决方案:
转化为01背包问题求解 :既然01背包问题是最基本的背包问题,那么我们可以考虑把完全背
包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是,考虑到第i种物品最多选V/c[i]件,于是可以把
第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品,然后求解这个01背包问题。这样完全没有改
进基本思路的时间复杂度,但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路:将一
种物品拆成多件物品

for i ← 1 to N
do for v ← 0 to V
do f[v] = max{f[v], f[v − cost] + weight}

摘取一下文中所说:
你会发现,这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可
行呢?首先想想为什么P01中要按照v=V…0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状
态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在
考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。
而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略
时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]],所以就可以并且必须采用v=0…V的顺
序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

最后得出完全背包问题的二维和一维解决模版:
f[i][v] = Max(f[i − 1][v],f[i][j-c[i]]+w[i]
将这个方程用一维数组实现,便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码:
在这里插入图片描述
最后贴一道题: 也是洛谷的 上面那道题的改编版
P1616 疯狂的采药
题目描述
LiYuxiang是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同种类的草药,采每一种都需要一些时间,每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是LiYuxiang,你能完成这个任务吗?

此题和原题的不同点:

1.每种草药可以无限制地疯狂采摘。

2.药的种类眼花缭乱,采药时间好长好长啊!师傅等得菊花都谢了!

输入输出格式
输入格式:
输入第一行有两个整数T(1 <= T <= 100000)和M(1 <= M <= 10000),用一个空格隔开,T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间(包括1和10000)的整数,分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。

输出格式:
输出一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例
输入样例#1: 复制
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例#1: 复制
140
说明
对于30%的数据,M <= 1000;

对于全部的数据,M <= 10000,且M*T<10000000(别数了,7个0)。

代码:包括二维和一维的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[100010];
int dp2[1010][10010];
int w[100010];
int v[100010];
int main() {
  int t,m;
  cin>>t>>m;
  for(int i=0;i<m;i++)
  cin>>w[i]>>v[i];
  for(int i=0;i<m;i++)
  for(int j=w[i];j<=t;j++)
    dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    cout<<dp[t];
  cin>>t>>m;
  memset(w,0,sizeof(w));
  memset(v,0,sizeof(v));
  for(int i=0;i<m;i++)
  cin>>w[i]>>v[i];
  int maxn=-10000;
  for(int i=0;i<m;i++) {
  for(int j=w[i];j<=t;j++) {
  dp2[i][j]=max(dp2[i-1][j],dp2[i][j-w[i]]+v[i]);
  maxn=max(maxn,dp2[i][j]);
    }
  }
  cout<<maxn;
}

<think>好的,我现在要帮用户整理一份学习C++的博客清单,并制定一个规划表,帮助他们从入门到达到NOIP水平。首先,我需要确定用户的需求。用户是刚开始学习C++,目标是通过NOIP竞赛,所以需要覆盖从基础语法到高级算法的内容。 首先,我得分解学习路径。通常NOIP考察的内容包括基本语法、数据结构、算法、以及题目实战。所以博客清单应该分阶段,逐步深入。 第一阶段肯定是基础语法。用户需要了解变量、循环、条件语句、函数、数组这些。然后是STL的使用,比如vector、string、queue、stack等,这些在竞赛中非常常用,能节省很多时间。 接下来是基础算法,比如排序、查找、递归、分治、贪心、简单动态规划。这些是解决NOIP题目的基础,必须扎实。 第三阶段是数据结构进阶,比如链表、树、图、并查集、堆、哈希表。特别是树图的相关算法,比如遍历、最短路径、最小生成树,这些在竞赛中经常出现。 第四阶段是高级算法,包括动态规划、搜索算法(DFS、BFS、剪枝)、数论、字符串处理(KMP、字典树)、高级图论算法。动态规划在NOIP中占比较大,需要重点讲解。 最后是综合实战,通过模拟题历年真题来巩固所学知识,熟悉比赛题型时间管理。 接下来,我需要为每个阶段推荐具体的博客资源。要确保这些资源是中文的、免费且质量较高的。比如C语言中文网、OI Wiki、阮行止的博客、Pecco的算法课等,这些资源比较权威,适合不同阶段的学习。 然后是规划表。用户可能需要一个为期4-5个月的计划,每周安排不同的主题。例如,前两周学习基础语法,接下来两周学习STL,然后逐步深入算法数据结构。每个月复习实战测试也很重要,帮助巩固知识。 需要注意用户可能有不同的学习速度,所以规划表要有一定的弹性,建议每天2-3小时的学习时间,保持持续学习。同时,提醒用户多做练习题,参加在线评测平台,如洛谷、Codeforces,这些对提升实战能力很有帮助。 最后,检查是否有遗漏的部分,比如调试技巧、代码优化,或者竞赛中的常见陷阱。确保推荐的博客内容覆盖这些方面,帮助用户全面准备NOIP。</think>我将为您整理一份C++学习路径及配套博客资源清单,并附上详细规划表。以下内容根据NOIP考纲要求设计,分阶段渐进式学习: --- ### 一、分阶段学习博客清单 #### 📚 阶段1:C++语法基础 1. **《C++快速入门指南》**(C语言中文网) - 环境搭建、变量类型、运算符、流程控制、函数 2. **《从零理解面向过程编程》**(菜鸟教程) - 数组、字符串、结构体、指针基础 3. **《C++标准输入输出全解析》**(洛谷日报) - 输入输出优化、流控制、格式处理技巧 #### 🔧 阶段2:STL基础算法 1. **《STL容器完全指南》**(OI Wiki) - `vector`/`string`/`queue`/`stack`/`map`详解 2. **《十大排序算法动画解析》**(Hello算法) - 冒泡/选择/插入/归并/快排/堆排序对比 3. **《递归分治实战20例》**(Codeforces教程) - 汉诺塔、斐波那契、快速幂实现 #### 🧠 阶段3:数据结构进阶 1. **《树形结构完全手册》**(AcWing博客) - 二叉树/二叉搜索树/堆/并查集实现 2. **《图论算法三部曲》**(Pecco的算法课) - DFS/BFS/最短路径/最小生成树 3. **《动态规划入门到精通》**(阮行止的博客) - 背包问题、线性DP、状态转移方程设计 #### ⚡ 阶段4:NOIP专项突破 1. **《竞赛数学技巧大全》**(洛谷日报) - 质数筛法、快速幂、模运算、组合数学 2. **《剪枝优化实战指南》**(OI Wiki) - 记忆化搜索、双向BFS、启发式搜索 3. **《历年NOIP真题精讲》**(信息学奥赛一本通) - 2015-2022年真题解析 --- ### 二、学习规划表(总时长4-5个月) #### 📅 第1-2周:语法筑基 - 每天2小时学习基础语法 - 配套练习:洛谷「新手村」题目 - 重点掌握:循环结构、数组操作、函数编写 #### 📅 第3-4周:STL实战 - 重点练习:`vector``sort`的配合使用 - 典型题目:P1177(排序)、P1553(字符串处理) #### 📅 第5-6周:算法入门 - 每日刷3道递归/分治类题目 - 理解时间复杂度的计算方法 #### 📅 第7-8周:数据结构攻坚 - 专项训练:并查集(P1551)、堆(P1090) - 掌握树的前中后序遍历实现 #### 📅 第9-12周:动态规划图论 - 重点突破:背包九讲、Floyd/Dijkstra算法 - 完成10道经典DP题目(如P1216数字三角形) #### 📅 第13-16周:综合实战 - 每周完成2套NOIP模拟赛 - 分析错题并撰写解题报告 - 学习对拍调试技巧 --- ### 三、关键学习建议 1. **代码实践**:每个知识点必须配合3-5道练习题 2. **调试能力**:学会使用`gdb`或IDE调试工具 3. **复杂度控制**:保证算法能通过$10^5$量级数据 4. **模考策略**:训练每题最多25分钟的解题速度 ### 四、推荐练习平台 - **洛谷**(www.luogu.com.cn) - **AcWing**(www.acwing.com) - **Codeforces**(codeforces.com) 附学习路线图: ```mermaid graph TD A[语法基础] --> B[STL容器] B --> C[排序/查找] C --> D[递归/分治] D --> E[线性数据结构] E --> F[树形结构] F --> G[图论算法] G --> H[动态规划] H --> I[数学基础] I --> J[综合实战] ``` 建议每天保持2-3小时有效学习时间,每周安排半天进行错题复习。遇到难点时,可参考《算法竞赛进阶指南》纸质书辅助学习
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