poj1061青蛙的约会

拿到这道题之后，很快就会把它转化为 ax+by=d的求解问题（a,b,d已知，求x,y)。这个问题如何求解呢。

我一开始用穷举。很显然，会TLE.

然后，看了别人的解题方法。原来这就是传说中的扩展的欧几里得问题。

用欧几里得求两个数的最大公约数大家都会。但是这个扩展的欧几里得就不那么好理解了。

在网上找的对扩展的欧几里得的理解：

扩展欧几里德算法理解（By ruiqi）
欧几里德算法很好理解了。但是扩展了一下却一直弄的不明不白。
网上关于这个的讲解是很多了。但总体说来都不是太好理解。
思索了好长时间,总结了下面的思路:(自我感觉良好了)
扩展欧几里德定理
对于与不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数。那么存在整
数 x,y 使得 gcd(a,b)=ax+by。(貌似 x,y 也是唯一的,这个我不是太清楚的)。
最重要的是怎么理解下面的代码了:
#inc lude<iostream>
using namespace std;
int x,y,q;
void extend_Eulid(int a,int b)
{
if (b==0)
{
x=1; y=0; q=a;
}
else
{
extend_Eulid(b,a%b);
int temp=x;
x=y; y=temp-a/b*y;
}
}
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
if (a<b) swap(a,b);
extend_Eulid(a,b);
printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);
}
求解 x,y 的方法的理解
我们不妨设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab<>0 时
设 ax1 +by1 =gcd(a,b);
bx2 +(a%b)y2 =gcd(b,a%b);
根据朴素欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
则:ax 1 +by1 =bx2 +(a%b)y2 ;
即:ax 1 +by1 =bx2 +(a-(a/b)*b)y2 =ay2 +bx2 -(a/b)*by2 ;
根据恒等定理得:x1 =y2 ; y1 =x2-(a/b)*y2 ;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是递归定义了,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以
结束。
有了这个分析,extend_Eulid 函数的理解也就不难了。

理解了欧几里得，这道题算是解了一半。然后要做的就是对普通的ax+by=d(d并不一定是gcd(a,b))求解。

详细分析过程见http://blog.youkuaiyun.com/SwordHoly/article/details/4423543

做这道题，太扯了，完全是数学啊。 数学，我的痛处。

/* * ===================================================================================== * * Filename: 1061.c * * Description: * * Version: 1.0 * Created: 2011年12月08日 11时27分16秒 * Revision: none * Compiler: gcc * * Author: MaZheng (blog.youkuaiyun.com/mazheng1989), mazheng19891019@gmail.com * Company: Dalian University Of Technology * * ===================================================================================== */ #include<stdio.h> //please declare parameters here. long long k,t,d; //please declare functions here. void extend_gcd(long long a,long long b) { if(b==0) { k=1; t=0; d=a; } else { extend_gcd(b,a%b); long long temp; temp=k; k=t; t=temp-(a/b)*t; } } int main() { freopen("input.txt","r",stdin); long long a,b; long long int x,y,m,n,l; //input your ... while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF) { a=m-n; b=y-x; if(a<0) { a=-a; b=-b; } extend_gcd(a,l); if(b%d!=0) { printf("Impossible\n"); } else { k=k*b/d; t=t*b/d; l=l/d; if(k>=0) k=k%l; else k=k%l+l; if(k==0) k=l; printf("%lld\n",k); } // printf("%lld %lld %lld %lld %lld",x,y,m,n,l); } return 0; }