数据结构：图

图

图的定义

 

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：

 

G=(V，E)

 

其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。

 

 

 

 

 

图的基本术语

 

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。

 

邻接、依附

 

无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在边(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边(vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。

 

邻接、依附

 

有向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在弧<vi，vj>，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶点vi，同时称弧<vi，vj>依附于顶点vi和顶点vj 。

 

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

 

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。  

 

稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；

 

稠密图：称边数很多的图为稠密图。

 

顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD (v)。

 

顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)；

 

顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。

 

权：是指对边赋予的有意义的数值量。

 

网：边上带权的图，也称网图。

 

路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq)，其中，(vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。

 

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。

 

简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。

 

简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。

 

 

 

连通分量：非连通图的极大连通子图称为连通分量。

 

强连通图：在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj (i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。

 

强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。

 

生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。

 

生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

 

 

 

 

 

深度优先遍历 （DFS：Depth First Search）

 

基本思想 ：

 

⑴ 访问顶点v；

 

⑵ 从v的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；

 

⑶ 重复上述两步，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。

 

广度优先遍历 （BFS：Broad First Search ；FIFO: First In First Out）

 

基本思想：

 

⑴ 访问顶点v；

 

⑵ 依次访问v的各个未被访问的邻接点v1, v2, …, vk；

 

⑶ 分别从v1，v2，…，vk出发依次访问它们未被访问的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问顶点的邻接点”被访问。直至图中所有与顶点v有路径相通的顶点都被访问到。

 

邻接矩阵（数组表示法）

 

基本思想：

 

用一个一维数组存储图中顶点的信息

 

用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系。

 

邻接矩阵中图的基本操作——构造函数

 

MGraph(T a[ ], int n, int e );

 

1确定图的顶点个数和边的个数；

 

2输入顶点信息存储在一维数组vertex中；

 

3初始化邻接矩阵；

 

依次输入每条边存储在邻接矩阵arc中；

 

     4.1 输入边依附的两个顶点的序号i, j；

 

     4.2 将邻接矩阵的第i行第j列的元素值置为1；

 

     4.3 将邻接矩阵的第j行第i列的元素值置为1；

 

template <class T>

 

MGraph::MGraph(T a[ ], int n, int e) {

 

    vertexNum=n; arcNum=e;

 

    for (i=0; i<vertexNum; i++)

 

        vertex[i]=a[i];

 

    for (i=0; i<vertexNum; i++)    //初始化邻接矩阵

 

                                    for (j=0; j<vertexNum; j++)

 

           arc[i][j]=0;            

 

    for (k=0; k<arcNum; k++) {

 

        cin>>i>>j;     //边依附的两个顶点的序号

 

        arc[i][j]=1;  arc[j][i]=1;  //置有边标志   

 

    }

 

}

 

邻接矩阵中图的基本操作——深度优先遍历

 

⑴ 访问顶点v；

 

⑵ 从v的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；

 

⑶ 重复上述两步，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。

 

递归定义

 

int visited[MaxSize];

 

template <class T>

 

void MGraph::DFSTraverse(int v){

 

     cout<<vertex[v]; visited [v]=1;

 

     for (j=0; j<vertexNum; j++)

 

         if (arc[v][j]==1 && visited[j]==0)

 

            DFSTraverse( j );

 

}

 

邻接矩阵中图的基本操作——广度优先遍历

 

⑴ 访问顶点v；

 

⑵ 依次访问v的各个未被访问的邻接点v1, v2, …, vk；

 

⑶ 分别从v1，v2，…，vk出发依次访问它们未被访问的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问顶点的邻接点”被访问。直至图中所有与顶点v有路径相通的顶点都被访问到。

 

 

 

 

 

邻接表存储的基本思想：

 

对于图的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点链成一个单链表，称为顶点vi的边表（对于有向图则称为出边表）

 

所有边表的头指针和存储顶点信息的一维数组构成了顶点表。

 

邻接表有两种结点结构：顶点表结点和边表结点。

 

vertex：数据域，存放顶点信息。

 

firstedge：指针域，指向边表中第一个结点。

 

adjvex：邻接点域，边的终点在顶点表中的下标。

 

next：指针域，指向边表中的下一个结点。

 

定义邻接表的结点

 

struct ArcNode{  

 

      int adjvex;

 

      ArcNode *next;

 

};

 

template <class T>

 

struct VertexNode{

 

      T vertex;

 

      ArcNode *firstedge;

 

};

 

10.邻接表中图的基本操作——构造函数

 

1. 确定图的顶点个数和边的个数；

 

2. 输入顶点信息，初始化该顶点的边表；

 

3. 依次输入边的信息并存储在边表中；

 

     3.1  输入边所依附的两个顶点的序号i和j；

 

     3.2  生成邻接点序号为j的边表结点s；

 

   3.3 将结点s插入到第i个边表的头部；

 

template <class T>

 

ALGraph::ALGraph(T a[ ], int n, int e)

 

{  

 

    vertexNum=n; arcNum=e;

 

    for (i=0; i<vertexNum; i++)  

 

    {

 

       adjlist[i].vertex=a[i];

 

       adjlist[i].firstedge=NULL;     

 

    }

 

        for (k=0; k<arcNum; k++)  

 

     {

 

         cin>>i>>j;   

 

         s=new ArcNode; s->adjvex=j;             

 

         s->next=adjlist[i].firstedge;   

 

         adjlist[i].firstedge=s;

 

     }

 

}

 

 

 

 

 

 

 

顶点表结点

 

vertex：数据域，存放顶点信息；

 

firstin：入边表头指针；

 

firstout：出边表头指针；

 

边表结点

 

tailvex：弧的起点在顶点表中的下标；

 

headvex：弧的终点在顶点表中的下标；

 

headlink：入边表指针域；

 

taillink：出边表指针域。

 

 

 

 

 

最小生成树（minimal spanning tree）

 

生成树的代价：设G=（V，E）是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。

 

最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。

 

性质：

 

假设G=(V, E)是一个无向连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u, v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u, v)的最小生成树。

 

普里姆（Prim）算法

 

基本思想：

 

设G=(V, E)是具有n个顶点的连通网，

 

T=(U, TE)是G的最小生成树，

 

T的初始状态为U={u0}（u0∈V），TE={ }，

 

重复执行下述操作：

 

在所有u∈U，v∈V-U的边中找一条代价最小的边(u, v)并入集合TE，同时v并入U，直至U=V。

 

Prim算法——伪代码

 

1. 初始化两个辅助数组lowcost（=arc[0][i]）和adjvex(=0)(0是始点)；

 

2. 输出顶点u0，将顶点u0加入集合U中；

 

3. 重复执行下列操作n-1次

 

   3.1 在lowcost中选取最短边(lowcost[k])，取对应的顶点序号k；

 

   3.2 输出顶点k和对应的权值；

 

   3.3 将顶点k加入集合U中（lowcost[k]=0）；

 

   3.4 调整数组lowcost和adjvex；

 

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

 

基本思想：

 

设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U, TE)，其初态为U＝V，TE＝{ }，

 

然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。

 

若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；

 

若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，

 

如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。

 

最短路径：

 

在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。

 

在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。

 

Dijkstra算法

 

基本思想：

 

设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，

 

对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径（从v到其余顶点的最短路径的初值）。

 

以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。

 

重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。

 

路径长度最短的最短路径（即第一条最短路）的特点：

 

   在这条路径上，必定只含一条边，并且这条边上的权值最小。

 

下一条路径长度次短的最短路径的特点：

 

它只可能有两种情况：

 

或者是直接从源点到该点(只含一条边)；

 

或者是从源点经过顶点v1（第一条最短路径所依附的顶点），再到达该顶点(由两条边组成)。

 

再下一条路径长度次短的最短路径的特点:

 

   它可能有四种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条边)； 或者从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条边组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点（两条条边）；或者是从源点经过顶点v1、v2，再到达该顶点（多条边）。

 

其余最短路径的特点：

 

   它或者是直接从源点到该点(只含一条边)； 或者是从源点经过已求得最短路径的顶点（集合S中的顶点），再到达该顶点。

 

 

 

 

 

图的存储结构：邻接矩阵存储结构  

 

数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：

 

                                 若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。

 

数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。

 

数组s[n]：存放源点和已经找到最短路径的终点，其初态为只有一个源点v。

 

 

 

拓扑序列：

 

设G=(V，E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1, v2, …, vn称为一个拓扑序列，当且仅当满足下列条件：若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点的拓扑序列中顶点vi必在顶点vj之前。

 

AOV网：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，称这样的有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网。

 

特点：

 

1.AOV网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系。

 

2.AOV网中不能出现回路 。

 

AOE网： 在一个表示工程的带权有向图中， 用顶点表示事件， 用有向边表示活动， 边上的权值表示活动的持续时间， 称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。 AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边的顶点称为终点（或汇点）。

 

性质：

 

⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；

 

⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

 

拓扑排序：对一个有向图构造拓扑序列的过程称为拓扑排序 。

 

基本思想：

 

⑴ 从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并且输出；

 

⑵ 从AOV网中删去该顶点，并且删去所有以该顶点为尾的弧；

 

⑶ 重复上述两步，直到全部顶点都被输出，或AOV网中不存在没有前驱的顶点。

 

基于邻接表的拓扑排序的基本思想

 

（1）找G中无前驱的顶点

 

查找indegree ［i］为零的顶点vi；

 

（2）修改邻接于顶点i的顶点的入度（删除以i为起点的所有弧）对链在顶点i后面的所有邻接顶点k，将对应的indegree［k］ 减1。

 

       为了避免重复检测入度为零的顶点，可以再设置一个辅助栈，若某一顶点的入度减为0，则将它入栈。每当输出某一入度为0的顶点时，便将它从栈中删除。

 

拓扑排序算法——伪代码

 

1. 栈S初始化；累加器count初始化；

 

2. 扫描顶点表，将没有前驱的顶点压栈；

 

3. 当栈S非空时循环

 

       3.1 vj=退出栈顶元素；输出vj；累加器加1；

 

       3.2 将顶点vj的各个邻接点的入度减1；

 

       3.3 将新的入度为0的顶点入栈；

 

4. if (count<vertexNum) 输出有回路信息；

 

有向图连通子图的求解过程

 

⑴ 从某顶点出发进行深度优先遍历，并按其所有邻接点都访问完（即出栈）的顺序将顶点排列起来。

 

⑵ 从最后完成访问的顶点出发，沿着以该顶点为头的弧作逆向的深度优先遍历。若不能访问到所有顶点，则从余下的顶点中最后访问的那个顶点出发，继续作逆向的深度优先遍历，直至有向图中所有顶点都被访问到为止。