数据结构：树

树的定义：

树：n（n≥0）个结点的有限集合。

当n＝0时，称为空树；

任意一棵非空树满足以下条件：

⑴ 有且仅有一个特定的称为根的结点；

⑵ 当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树。

树的定义是采用递归方法

 

树的基本术语

结点的度：结点所拥有的子树的个数。

树的度：树中各结点度的最大值。

叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。

分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。

孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；

兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。

路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。

祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，而y称为x的子孙。

结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。

树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。

层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。

有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。

森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合。

同构：对两棵树，若通过对结点适当地重命名，就可以使这两棵树完全相等（结点对应相等，结点对应关系也相等），则称这两棵树同构。

 

树的抽象数据类型定义

ADT Tree

Data

     树是由一个根结点和若干棵子树构成，

     树中结点具有相同数据类型及层次关系

Operation

     InitTree

        前置条件：树不存在

        输入：无

        功能：初始化一棵树

        输出：无

        后置条件：构造一个空树

   DestroyTree

        前置条件：树已存在

        输入：无

        功能：销毁一棵树

        输出：无

        后置条件：释放该树占用的存储空间

   Root

        前置条件：树已存在

        输入：无

        功能：求树的根结点

        输出：树的根结点的信息

        后置条件：树保持不变

Parent

        前置条件：树已存在

        输入：结点x

        功能：求结点x的双亲

        输出：结点x的双亲的信息

       后置条件：树保持不变    

Depth

       前置条件：树已存在

       输入：无

       功能：求树的深度

       输出：树的深度

       后置条件：树保持不变

      

   PreOrder  

         前置条件：树已存在

         输入：无

         功能：前序遍历树

         输出：树的前序遍历序列

         后置条件：树保持不变  

   PostOrder

         前置条件：树已存在  

         输入：无

         功能：后序遍历树

         输出：树的后序遍历序列

         后置条件：树保持不变

 

 

树的遍历：从根结点出发，按照某种次序访问树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

树的前序遍历操作定义为：

若树为空，不进行遍历；否则

⑴ 访问根结点；

⑵ 按照从左到右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树。

 

树的后序遍历操作定义为：

若树为空，则遍历结束；否则

⑴ 按照从左到右的顺序后序遍历根结点的每一棵子树；

⑵ 访问根结点。

 

树的层序遍历操作定义为：

从树的第一层（即根结点）开始，自上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

 

双亲表示法

基本思想：

用一维数组来存储树的各个结点（一般按层序存储），

数组中的一个元素对应树中的一个结点，

每个结点记录两类信息：结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。

template <class T>

struct PNode{

     T data;          //数据域

     int parent;   //指针域，双亲在数组中的下标

} ;

 

 

孩子表示法-孩子链表表示法（每个节点创建一个单链表）

1.这 n 个单链表共有 n 个头指针，这 n 个头指针又组成了一个线性表。

2.为了便于进行查找采用顺序存储存储每个链表的头指针。

3.最后，将存放 n 个头指针的数组和存放n个结点的数组结合起来，构成孩子链表的表头数组。

 

孩子兄弟表示法

结点结构firstchild data rightsib

data：数据域，存储该结点的数据信息；

firstchild：指针域，指向该结点第一个孩子；

rightsib：指针域，指向该结点的右兄弟结点。

template   <class T>

struct TNode{

     T data;

     TNode <T> *firstchild, *rightsib;

};

 

小结

顺序存储：本质上是静态指针

双亲表示法

双亲、孩子表示法

链式存储：

多重链表示法

孩子链表表示法

孩子兄弟表示法