AcWing 873.欧拉函数

AcWing 873.欧拉函数

题目描述

给定n个正整数α_i，请你求出每个数的欧拉函数

欧拉函数定义

1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为Φ(N)。
互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。
eg:求Φ(6)，和6只有公约数为1的数有1和5，一共两个数，所以Φ(6) = 2

p₁ 到 p_k 是N的质因子
若在算数基本定理中，有
$$N=p_1^{\alpha 1}\ast p_2^{\alpha 2}\ast ...\ast p_k^{\alpha k}$$

证明欧拉函数（使用容斥原理）：
首先我们假设N的所有质因数是p₁到p_k，求1 ~N-1中与N互斥的数的个数s
1、从1 ~ N中去掉p₁p₂…p_k的所有倍数
$$s=N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}$$
2、加上所有p_i * p_j的倍数
$$s=N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}+\frac{N}{p_1{p}_2}+\frac{N}{p_1{p}_3}+...+\frac{N}{p_i{p}_j}$$
3、减去所有p_i * p_j * p_k 的倍数
$$s=N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}+\frac{N}{p_1{p}_2}+\frac{N}{p_1{p}_3}+...+\frac{N}{p_i{p}_j}-\frac{N}{p_1{p}_2{p}_3}-\frac{N}{p_1{p}_2{p}_4}-...-\frac{N}{p_i{p}_j{p}_k}$$
4、以此类推…。
5、最后求出欧拉函数的核心公式(最重要)：
$$\Phi (N)=N\ast (1-\frac{1}{p_1})\ast (1-\frac{1}{p_2})\ast ...\ast (1-\frac{1}{p_k})$$

输入格式

第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数α_i。

输出格式

输出共n行，每行输出一个正整数α_i的欧拉函数。

数据范围

1 ≤ n ≤ 100,

1 ≤ α_i ≤ 2 * 10⁹

输入样式：

3
3
6
8

输出样式：

2
2
4

代码：

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;
 
typedef long long ll;   // 数据范围较大记得用long long
const int N = 110;
 
int n;
 
int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int cnt = 0;
        ll primes[N];
        int x;
        cin >> x;

        ll ans = x;

        // 先分解质因数
        for(int i = 2 ; i <= x / i ; i ++ )
        {
            if(x % i == 0)
            {
                ans = ans / i * (i - 1);    // ans = ans * (1 - 1 / x)，需要化简，结果就是ans = ans / i * (i - 1)
                while(x % i == 0) x /= i;
            }
        }
        
        if(x > 1) ans = ans / x * (x - 1);  // 最后一个比较大的质因子x
 
         
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}